3-4 класс. Неделя 21 (с 25 февраля по 4 марта). Теория.

Кубики. Проекции.

1. Кубики. Грани, рёбра, вершины.

Почти все люди в детстве играют кубиками. Поэтому отличить куб (или кубик) от других фигур для большинства людей не составляет никакого труда.

Куб — это многогранник, он состоит из граней.
Грань — это плоская часть поверхности предмета. У куба все грани — квадраты.
Стороны квадратов, из которых состоит куб, называются сторонами или рёбрами куба. Каждое ребро куба — это граница двух граней.
Вершины куба — это точки, в которых сходятся рёбра куба. В каждой вершине куба сходится три ребра.

Возьмите в руки игрушечный кубик и найдите на нем все грани, рёбра и вершины. Сколько их?
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

На рисунке невозможно изобразить кубик так, чтобы он был виден со всех сторон.
Поэтому те грани, рёбра и вершины, которые мы видим на рисунке, называются видимые, а те, которые не видим, — невидимые.
Иногда невидимые ребра изображают пунктиром (как на рисунке выше).
Чаще всего кубик изображается двумя способами:

Посмотрите на рисунок. Сколько граней, рёбер и вершин куба являются видимыми на каждом изображении? А сколько невидимыми?
Видимые: 3 грани, 9 рёбер, 7 вершин.
Невидимые: 3 грани, 3 ребра, 1 вершина.

Бывают такие изображения кубика, что видимыми являются две или даже одна грань.

2. Башни из кубиков.

Из кубиков можно складывать, составлять и склеивать башни и другие фигуры. У новых фигур также будут грани, рёбра и вершины.
Но при объединении кубиков грани, рёбра и вершины тоже частично объединяются, потому посчитать их количество в новой фигуре не так-то просто.

Задача 1.
Из одинаковых кубиков склеили фигуру, как на рисунке.


Сколько у этой фигуры граней, ребер и вершин?

Решение.
Вспомним, что грань — это плоская часть поверхности фигуры. При склейке кубиков некоторые грани, ребра и вершины объединяются.
Таким образом, в этой фигуре уже не все грани являются квадратами. Получается такая фигура:

Если теперь внимательно посчитать, то получится, что у этой фигуры 10 граней (5 видимых на рисунке и 5 невидимых), 24 ребра (17 видимых и 7 невидимых) и 16 вершин (13 видимых и 3 невидимых).

Ответ: 10 граней, 24 ребра и 16 вершин.

На рисунках, изображающих башни и фигуры из кубиков, невидимыми могут быть не только грани, рёбра и вершины, но и целые кубики. Об их присутствии в фигуре мы можем лишь догадываться.
А иногда по одному рисунку невозможно подсчитать точно, сколько кубиков ушло на постройку фигуры. Для точного подсчета требуются дополнительные изображения этой фигуры: например, вид сверху или вид сбоку.

Задача 2.
Сколько кубиков ушло на постройку башни?


Решение.
На рисунке этой башни видно 8 кубиков. Все кубики второго этажа стоят на кубиках первого этажа. Поэтому, можно догадаться, что средний кубик второго этажа стоит на кубике первого этажа, хотя мы этот кубик под ним и не видим. Таким образом, на постройку башни ушло 8+1=9 кубиков.

Ответ: 9 кубиков.

Замечание. На самом деле, 9 кубиков — это минимальное количество кубиков в этой башне. Может случиться так, что в этой башне в первом этаже есть еще кубики, которые не видны из-за кубиков второго этажа. Поэтому для точного подсчета всех кубиков, необходимо посмотреть на эту башню, например, сзади или сверху. То есть требуется дополнительное изображение башни.

3. Проекции фигур.

Проекцией фигуры называется изображение ее на плоскости. И это изображение зависит от того, как повёрнута фигура и под каким углом на нее смотрят.

В геометрии обычно рассматривается три проекции фигуры: вид спереди, вид сверху и вид слева. Есть также виды сзади, снизу и справа.

В зависимости от изображения фигуры на рисунке, ее виды определяются так:

На рисунках изображена одна и та же фигура, по-разному повёрнутая к зрителю. Важно научиться определять, какой вид считается видом спереди. Все остальные виды после этого определяются однозначно.

Можно сказать, что каждая из этих проекций (видов) — это то, как мы видим фигуру, если смотрим на нее спереди, сверху или слева. На рисунке показаны фигуры и их виды спереди (розовым цветом), сверху (серым цветом) и слева (жёлтым цветом):

Если на проекции некоторые линии фигуры не видно, то их изображают пунктиром:

Обычно в задачах требуется нарисовать проекции фигуры или, наоборот, нарисовать фигуру по её проекциям.

Задача 3.
Петя загадал фигуру и нарисовал ее вид сверху. Какую фигуру загадал Петя?

Решение.
Такой вид сверху может иметь цилиндр, конус, шар:

Можно придумать более сложные фигуры, которые сверху тоже будут выглядеть как круг.

Поэтому по одной проекции невозможно определить, для какой фигуры она нарисована.

Ответ: невозможно определить.

Замечание.
Во многих случаях фигуру невозможно определить и по двум проекциям. Например, цилиндр и прямоугольный брусок (параллелепипед) имеют одинаковые виды спереди и слева. Поэтому в геометрии и черчении, чтобы определить фигуру, обычно указывают три ее проекции (но иногда и трёх недостаточно).

Задача 4.
Для башни из кубиков нарисовали три проекции: вид спереди, вид слева и вид сверху:

Выберите из башен 1-5 ту, которой соответствуют эти проекции:

Решение.
Такой вид спереди и вид сверху имеют башни 3 и 4, такой вид слева имеют башни 1 и 3.
Значит, проекции сделаны для башни 3.

Ответ: башня 3.

4. Спилы и распилы.

Из кубиков можно не только склеивать фигуры и строить башни.

Например, от кубиков или фигур можно «отпиливать» части. При этом в получившейся фигуре увеличивается количество граней, ребер и вершин. В этом случае важно правильно представить и изобразить получившуюся после распила фигуру.

Задача 5.

У деревянного кубика отпилили угол, как показано на рисунке.
Сколько граней, ребер и вершин у получившейся фигуры?


Решение.
По рисунку видно, что после отпила в фигуре появилась новая грань (начальные 6 граней куба никуда не исчезли, некоторые лишь поменяли форму), три новых ребра (начальные 12 ребер не исчезли, некоторые стали короче), и вместо одной отпиленной вершины появилось три новых.
Таким образом, в получившейся фигуре 7 граней, 15 ребер, 10 вершин.

Ответ: 7 граней, 15 ребер, 10 вершин.

Можно распилить большой кубик на несколько маленьких. Возникают вопросы: сколько таких кубиков получится, какого они будут размера, какие у них будут свойства? В этом случае также поможет правильный рисунок.

Задача 6.
Деревянный куб с ребром 10 см покрасили краской, а затем распилили на кубики с ребром 5 см.
Сколько кубиков получилось? Сколько среди них кубиков с одной окрашенной гранью, с двумя окрашенными гранями, с тремя окрашенными гранями?

Решение.
Поскольку нужно получить кубики со стороной 5 см, значит каждое ребро большого кубика надо распилить пополам. Попробуем нарисовать, как это будет выглядеть.

Из рисунка видно, что после распиливания получится 8 кубиков.
Что касается покраски, то можно заметить, что все получившиеся кубики одинаковые и имеют по 3 окрашенные и 3 неокрашенные грани.
Таким образом, среди получившихся кубиков нет ни одного с одной или двумя окрашенными гранями, а с тремя окрашенными гранями — все 8 кубиков.

Ответ: 8 кубиков, все они с тремя окрашенными гранями.

Рейтинг: 0

Добавить комментарий