Геометрия.
На этом занятии мы будем решать задачи, связанные с построением, разрезанием, подсчетом геометрических фигур.
1. Многоугольники.
Многоугольник — это фигура, составленная из последовательно соединённых прямых отрезков, причём последний отрезок соединяется с первым отрезком. В зависимости от количества углов многоугольник может называться треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником и так далее.
Отрезки, из которых составлен многоугольник, называются сторонами многоугольника.
У многоугольника столько сторон, сколько и углов: у треугольника 3 стороны, у четырёхугольника 4 стороны, у семиугольника 7 сторон и так далее.
Два многоугольника называются равными, если их можно совместить, наложив один на другой. То есть, если вырезать эти фигуры из бумаги и попробовать наложить друг на друга (возможно, повернув или перевернув), то они полностью совпадут.
Рассмотрим некоторые многоугольники, с которыми мы наиболее часто встречаемся как в задачах, так и в жизни.
Треугольник — это фигура, у которой три вершины, и каждые две вершины соединены прямым отрезком.
Прямоугольник — это фигура, у которой четыре вершины, четыре стороны, все углы прямые. Удобнее всего рисовать прямоугольник на клетчатом листе.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Важно помнить, что любой квадрат является прямоугольником. Но не любой прямоугольник является квадратом.
2. Подсчет фигур.
В задачах на подсчет фигур чаще всего требуется подсчитать количество треугольников, квадратов или прямоугольников на рисунке. Чтобы не запутаться и не упустить никакой фигуры, нужна не только внимательность, но и алгоритм (порядок) подсчета. Удобнее и проще всего считать так:
- Сначала сосчитать все фигуры, состоящие из одной части. То есть те, которые не разделены на другие фигуры никакими линиями. Назовем эти фигуры одинарными.
- Затем подсчитать фигуры, состоящие из двух частей, назовем их двойными.
- Затем подсчитать тройные, четверные фигуры и так далее по возрастанию частей.
- Затем сложить все полученные результаты.
Сложность при подсчете фигур, составленных из двух и более частей, состоит в том, что эти фигуры могут пересекаться друг с другом на рисунке. Чтобы сделать подсчет более наглядным, можно (и нужно) раскрашивать или заштриховывать найденные фигуры.
Задача 1.
Сколько треугольников на рисунке?
Решение.
Фигура на рисунке состоит из 6 частей, пронумеруем эти части для удобства.
Сначала подсчитаем, сколько на рисунке одинарных треугольников, то есть состоящих из одной части. Как видно из рисунка, каждая из маленьких частей, которые мы пронумеровали, является треугольником. Значит, на рисунке всего 6 ординарных треугольников:
Теперь подсчитаем двойные треугольники, то есть состоящие из двух маленьких частей. Нужно заметить, что не из любых двух частей можно составить треугольник. Например, фигура, состоящая из частей 3 и 5, треугольником не является. Все двойные треугольники показаны на рисунках, их всего 4:
Теперь подсчитаем тройные треугольники, их всего 2:
Четверных и пятерных треугольников на рисунке нет. Действительно, ни из каких 4 или 5 маленьких частей треугольник не получается.
И, наконец, считаем треугольники, состоящие из 6 маленьких частей. Это один большой треугольник, включающий в себя все пронумерованные части:
Результаты наших подсчетов:
- одинарных треугольников — 6
- двойных — 4
- тройных — 2
- из 4 частей — 0
- из 5 частей — 0
- из 6 частей — 1
Всего 6+4+2+1=13 треугольников на рисунке.
Ответ: 13 треугольников.
Задача 2.
Сколько квадратов и сколько прямоугольников на рисунке?
Решение.
Для удобства подсчета пронумеруем все одинарные части, из которых состоит фигура на рисунке.
Сначала посчитаем квадраты на рисунке:
- одинарных квадратов — 2 (это части 2 и 3)
- двойных — 0
- тройных — 0
- из 4 частей — 1 (это квадрат, составленный из частей 1, 2, 3, 4)
Всего 2+1=3 квадрата на рисунке.
Теперь подсчитаем прямоугольники на рисунке:
- одинарных прямоугольников — 4 (каждая из пронумерованных частей является прямоугольником, квадрат — это тоже прямоугольник)
- двойных — 4 (это прямоугольники из частей 1 и 2, 3 и 4, 1 и 3, 2 и 4)
- тройных — 0
- из 4 частей — 1 (прямоугольник из частей 1, 2, 3, 4)
Всего 4+4+1=9 прямоугольников на рисунке.
Ответ: 3 квадрата, 9 прямоугольников.
3. Периметры фигур.
Если сложить длины всех сторон многоугольника, получится его периметр.
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника, или, по-другому, длина границы многоугольника.
Задача 3.
На рисунке прямоугольник составлен из трёх одинаковых квадратов.
Периметр каждого квадрата равен 4 см.
Найдите периметр прямоугольника.
Решение.
Периметр — это сумма длин всех сторон. У квадрата 4 стороны и все они равны. Значит, длина каждой стороны — это четвертинка периметра.
Если периметр каждого квадрата на рисунке равен 4 см, то каждая сторона квадрата равна 1 см.
Теперь посмотрим на прямоугольник:
У него красные стороны равны 1 стороне квадрата, синие стороны равны 3 сторонам квадрата. То есть красные стороны имеют длину 1 см каждая, а синие стороны — 3 см каждая.
Если сложить длины всех сторон прямоугольника, получим 1+1+3+3=8 см. Это периметр прямоугольника.
Ответ: 8 см.
Задача 4.
На рисунке показан путь автобуса. Начальная и конечная точки пути совпадают.
Сколько проехал автобус?
Решение.
Как видно из рисунка, путь автобуса представляет собой многоугольник. Чтобы решить задачу, нужно найти периметр этого многоугольника.
Длины почти всех участков пути указаны, кроме одного:
Но мы можем найти длину этого участка пути. Достроим маршрут автобуса, как показано на рисунке:
Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, то длины красных отрезков равны.
Кроме того, равны отрезки, отмеченные синими дугами, так как это противоположные стороны большого прямоугольника:
Так как отрезки, отмеченные дугами, равны 6, то красный отрезок равен 6-3=3:
Теперь мы можем найти длину всего пути автобуса.
1 способ: сложим длины всех участков, получим 6+1+3+2+3+3=18.
2 способ: по рисунку заметим, что длина пути автобуса равна периметру прямоугольника, до которого мы достроили это маршрут, то есть (3+6)*2=18.
Ответ: 18.
4. Построение фигур.
В задачах этого типа нужно построить фигуры, для которых в задаче заданы некоторые условия. Для удобства мы будем строить фигуры на клетчатом листе.
Задача 3.
У Кролика очень аккуратный огород, он размечен на квадраты со стороной 1 м. Кролик хочет огородить декоративным заборчиком грядку для посадки морковки размером в 4 квадрата. Декоративный заборчик продается отрезками длиной 1 м. Сколько отрезков заборчика потребуется Кролику? Какой формы лучше сделать морковную грядку, чтобы заборчик был наиболее коротким?
Решение.
Для клетчатого огорода Кролика нам нужно построить «проект» морковной грядки, состоящей из 4 квадратов. Какие это могут быть фигуры? Все они показаны на рисунке:
Конечно, есть и другие фигуры из 4 клеток, но они получаются из указанных либо поворотом, либо зеркальным отображением. В любом случае, заборы для других фигур будут иметь такую же длину, как и для показанных на рисунке.
Поскольку стороны квадратов на огороде кролика и отрезки заборчика имеют длину по 1 м, то по рисунку теперь нетрудно посчитать, сколько же отрезков заборчика нужно для каждой представленной грядки (то есть периметр грядки). Периметр грядок 1, 3, 4, 5 равен 10 м, а периметр грядки 2 — 8 м.
Ответ: Кролику потребуется 8 или 10 отрезков заборчика. Наиболее короткий заборчик будет у грядки в форме квадрата.