Математические игры и стратегии.
На этом занятии мы познакомимся с математическими играми и стратегиями.
Что такое математическая задача-игра? Это игра, в которой:
- принимают участие двое или более игроков;
- есть правила, которые задают начальные условия и возможные действия игроков;
- игра состоит из поочередных шагов (ходов) игроков, ходы не зависят от случайности (например, от бросания кубика или монеты);
- правила определяют условия выигрыша или ничьей, выиграть игру может только один игрок, остальным игрокам засчитывается проигрыш;
- каждый игрок стремится выиграть, не поддается и играет только за себя.
Стратегия игрока – это его план действий в игре. Игрок планирует, как он будет действовать в каждый свой ход. Если есть стратегия, которая приводит игрока к выигрышу, несмотря на действия противников, то она называется выигрышной.
Обычно в задачах-играх вопрос поставлен так: «Кто выиграет при правильной игре?». Это значит, что нужно найти выигрышную стратегию для одного из игроков и написать ее в качестве решения. Если такая стратегия найдена, то для второго игрока выигрышную стратегию искать не нужно, так как ее нет.
Обычно, несколько раз сыграв в игру, мы уже можем заметить, в каком случае мы выигрываем или проигрываем. То есть, играя, мы постепенно находим выигрышную стратегию. И когда требуется решить математическую задачу-игру, лучше всего сначала несколько раз в нее сыграть. Но можно пойти и другим путем: внимательно проанализировать правила игры и найти решение математически.
Дальше рассмотрим, какие виды выигрышных стратегий встречаются в математических играх.
Игры-шутки.
Игра-шутка – это такая математическая игра, в которой выигрыш не зависит от ходов игроков. Как бы они ни играли, результат заранее определен условиями задачи. В такой задаче не нужно искать выигрышную стратегию, а нужно объяснить, почему всегда будет выигрывать один из игроков.
Задача 1.
Саша и Маша по очереди ломают шоколадку размером 4 х 4 дольки. За один ход можно разломить любой имеющийся кусок шоколадки вдоль прямой линии. Первый ход делает Саша. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
Решение.
Игрок не может сделать ход в том случае, если все имеющиеся куски шоколадки состоят ровно из одной дольки (значит, никакой кусок больше нельзя разломить). Таким образом, игра закончится, когда получится 16 кусков.
Перед началом игры есть целая шоколадка, то есть один кусок из 16 долек. После первого хода образуется 2 куска, после второго хода образуется 3 куска и так далее. За каждый ход количество кусков, на которые разломана шоколадка, увеличивается на один. Значит, чтобы получилось 16 кусков шоколадки, нужно сделать 15 ходов.
Если Саша ходит первым, то все нечётные ходы – Сашины, все чётные ходы – Машины. Значит, 15-й ход в игре сделает Саша, после чего Маша не сможет сделать ход и проиграет.
Ответ: выиграет Саша.
Симметричные стратегии.
В некоторых задачах-играх можно добиться выигрыша, если «копировать», повторять ходы противника. Такая стратегия называется симметричной.
Задача 2.
У Оли и Коли есть две кучки конфет по 5 штук в каждой. За один ход можно взять любое количество конфет, но только из одной кучки. Первой ходит Оля. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет? Как он должен ходить, чтобы точно выиграть?
Решение.
Коля выиграет, если будет повторять ходы Оли: брать столько же конфет, сколько взяла Оля перед ним, только из другой кучки. Поэтому после хода Коли в кучках всегда будет поровну конфет. И если Оля сможет взять конфету из какой-то кучки, то и Коля после нее сможет взять конфету из другой кучки. Получается, что последняя конфета в любом случае достанется Коле, и он выиграет.
Ответ: Выиграет Коля В свой ход он должен брать столько же конфет, сколько и Оля, но из другой кучки.
Замечание.
Для Оли не нужно искать выигрышную стратегию, так как ее нет. При правильной игре всегда выигрывает Коля.
Задача 3.
У Оли и Коли есть три кучки из 5, 5 и 7 конфет. За один ход можно взять любое количество конфет, но только из одной кучки. Первой ходит Оля. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю конфету. Кто выиграет? Как он должен ходить, чтобы точно выиграть?
Решение.
В этой задаче есть выигрышная стратегия для Оли. В первый ход ей нужно взять полностью кучку из 7 конфет. После хода Оли мы получаем две кучки по 5 конфет, и ходит Коля. Оля выиграет, если будет повторять ходы Коли: брать столько же конфет, сколько взял Коля перед ней, только из другой кучки. Поэтому после хода Оли в кучках всегда будет поровну конфет. И если Коля сможет взять конфету из какой-то кучки, то и Оля после него сможет взять конфету из другой кучки. Получается, что последняя конфета в любом случае достанется Оле, и она выиграет.
Ответ: Выиграет Оля. В свой первый ход она должна забрать кучку из 7 конфет, а в следующие ходы брать столько же конфет, сколько и Коля, но из другой кучки.
Задача 4.
Аня и Таня по очереди раскрашивают клетчатый коврик размером 9 х 9 клеток. За один ход можно раскрасить только одну клетку. Клетку можно раскрасить, если она не соприкасается ни одной стороной с уже раскрашенными клетками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первой ходит Аня. Кто из девочек выиграет? Как она должна ходить, чтобы точно выиграть?
Решение.
В этой игре есть выигрышная стратегия для Ани. Первым ходом ей нужно раскрасить центральную клетку коврика. Затем в каждом следующем ходе «копировать» ход Тани симметрично относительно центра. Если перед ходом Тани на коврике есть клетка, которую можно раскрасить, то значит найдется и симметричная ей клетка для Ани. Если же перед ходом Тани не осталось ни одной клетки, которую можно раскрасить, то она не сможет сделать ход, а значит, проиграет.
Ответ: Выиграет Аня. В свой первый ход она закрашивает центральную клетку, в следующие ходы симметрично «копирует» ходы Тани.
Стратегии дополнения.
Еще один вид выигрышных стратегий – это стратегии дополнения. В этом случае игру можно разбить на несколько частей, в каждой из которых ход одного игрока «дополняет» ход другого игрока.
Задача 5.
Пончик и Сиропчик купили в кондитерской набор из 9 пирожных и решили сыграть в игру. За один ход можно съесть 1 или 2 пирожных. Выигрывает тот, кто съест последнее пирожное. Первым ходит Пончик. Кто выиграет? Как он должен ходить, чтобы выиграть?
Решение.
Сначала посмотрим, кто выиграет, если в наборе будет 3 пирожных. В этом случае последнее пирожное съест тот, кто будет ходить вторым. Если первый игрок съест 1 пирожное, то второй съест оставшиеся 2. Если первый игрок съест 2 пирожных, то второй съест оставшееся 1.
То есть, если к ходу игрока осталось 3 пирожных, то он проиграет.
Разобьем набор из 9 пирожных на 3 «блока» по 3 пирожных. Первым ходит Пончик. Если он берет 1 пирожное, то Сиропчик должен взять 2 оставшихся пирожных из этого «блока». Если Пончик берет 2 пирожных, то Сиропчик должен взять оставшееся 1 пирожное из этого «блока».
Таким образом, если Сиропчик в каждый свой ход будет «дополнять» ход Пончика до 3 пирожных, то Сиропчику достанется последнее пирожное в каждом из 3 «блоков» и во всей игре в целом. Сиропчик выиграет.
Ответ: Выиграет Сиропчик. В каждый свой ход он должен «дополнять» предыдущий ход Пончика до 3 пирожных.
Задача 6.
Пончик и Сиропчик купили в кондитерской набор из 9 пирожных и решили сыграть в игру. За один ход можно съесть 1 или 2 пирожных. Проигрывает тот, кто съест последнее пирожное. Первым ходит Пончик. Кто выиграет? Как он должен ходить, чтобы выиграть?
Решение.
В этой задаче, по сравнению с задачей 5, изменилось условие выигрыша, и это существенно влияет на результат. Если использовать ту же стратегию дополнения, то она не будет выигрышной для Сиропчика, ведь он съест последнее пирожное и проиграет.
Зато в этом случае стратегию дополнения может использовать Пончик.
Ему нужно сделать так, чтобы после его последнего хода осталось ровно 1 пирожное, тогда последнее пирожное придется съесть Сиропчику.
Для этого самым первым ходом Пончик должен съесть столько пирожных, чтобы осталось несколько «блоков» по 3 пирожных и еще 1 одно пирожное. Поскольку пирожных всего 9, то Пончику в первый ход нужно съесть 2 пирожных, тогда останется 2 «блока» и еще 1 пирожное. После этого Пончик в каждый свой ход должен дополнять ходы Сиропчика до 3 пирожных. Сиропчику достанется последнее пирожное, и он проиграет.
Ответ: Выиграет Пончик. В первый ход он должен съесть 2 пирожных, затем в каждый свой ход он должен «дополнять» предыдущий ход Сиропчика до 3 пирожных.
Задача 7.
Пончик и Сиропчик купили в кондитерской набор из 10 пирожных и решили сыграть в игру. За один ход можно съесть 1 или 2 пирожных. Выигрывает тот, кто съест последнее пирожное. Первым ходит Пончик. Кто выиграет? Как он должен ходить, чтобы выиграть?
Решение.
Условия задачи те же самые, что и в задаче 5, лишь количество пирожных на 1 больше. Но это существенно влияет на результат.
В этом случае выиграет Пончик. Первым ходом ему нужно съесть 1 пирожное. После этого хода мы возвращаемся к предыдущей задаче с 9 пирожными. Но теперь следующий ход у Сиропчика, а Пончик должен «дополнять» его ходы до 3 пирожных.
Ответ: Выиграет Пончик. В первый ход он должен съесть 1 пирожное, в каждый следующий свой ход он должен «дополнять» предыдущий ход Сиропчика до 3 пирожных.