Симметрия
Слово «симметрия» произошло от греческого слова «соразмерность». Бывают разные виды симметрии, сегодня мы поговорим:
- про осевую (зеркальную) симметрию,
- про центральную симметрию,
- про симметричные слова и числа.
Осевая (зеркальная) симметрия.
Посмотрим на бабочку.
Если представить, что через ее середину проходит прямая линия (ось), то одна ее половина будет как бы зеркальным отражением другой. Поэтому мы можем сказать, что бабочка обладает зеркальной симметрией или симметрична. Линия, которая выполняет роль «зеркала», называется осью симметрии.
У бабочки на рисунке всего 1 ось симметрии. Но у некоторых фигур их больше. Например, у квадрата их 4:
А у круга вообще бесконечное количество, потому что любая прямая, проходящая через центр круга, будет его осью симметрии.
Проверить, является ли какая-нибудь прямая линия осью симметрии фигуры очень легко: нужно поставить в вдоль этой линии зеркальце, одна часть фигуры отразится в нем, и мы увидим исходную фигуру.
Теперь мы научимся строить отражения различных фигур или фигуры, симметричные данным.
Задача 1.
На картинке черным нарисована фигура, а красным — ось симметрии.
Нужно нарисовать симметричную фигуру, то есть «отражение» данной фигуры.
Решение.
Построим для двух точек их отражения. Они находятся с другой стороны зеркала на том же расстоянии, что и сами точки. Считаем, сколько клеток от точки до зеркала, откладываем столько же клеток от зеркала в другую сторону — получаем отражение точки:
Соединим эти два отражения точек — получим отражение отрезка.
Дальше так же, по точкам, строим отражения других отрезков.
Последняя точка находится прямо на зеркале, поэтому она сама и будет своим отражением.
Получили «отражение» фигуры. Оно изображено на рисунке синим цветом.
Ось симметрии может быть горизонтальной, вертикальной, а может быть наклонной.
Задача 2.
Построить отражение фигуры в наклонном «зеркале»:
Решение.
Строим по точкам отражение первого отрезка. Поскольку ось проходит по диагонали клеток, надо быть очень внимательным, измеряя расстояния. Теперь мы считаем, сколько клеток от точки до зеркала по диагонали, и откладываем столько же клеток с другой стороны зеркала.
Третья точка находится на оси:
А четвертая – с другой стороны зеркала:
У нас получилось отражение фигуры в наклонном «зеркале» или фигура, симметричная исходной фигуре относительно наклонной оси. На рисунке симметричная фигура показана синим цветом:
Центральная симметрия.
Точка А называется симметричной точке В относительно точки О, если точка О — середина отрезка АВ. Точка О в этом случае называется центром симметрии.
Можно заметить, что точка В получается из точки А путем поворота на 180 градусов (половину полного оборота) вокруг точки О .
Если у фигуры есть такая точка, что все симметричные относительно неё точки фигуры тоже принадлежат фигуре, то говорят, что эта фигура обладает центральной симметрией. Можно заметить, что если при повороте на половину оборота («вверх ногами») вокруг некоторой точки фигуры получается точно такая же фигура в том же положении, то эта точка — центр симметрии фигуры.
Например, у ромба есть центр симметрии, а у треугольника нет, так как при повороте вокруг любой внутренней точки получится перевернутый треугольник:
Задача 3.
На картинке черным нарисована фигура, а красным — центр симметрии.
Нужно нарисовать фигуру, симметричную данной относительно центра симметрии.
Решение.
Построим для двух точек симметричные им. Центр симметрии должен оказаться серединой отрезка, соединяющего точку и симметричную ей.
Для этого соединяем точку и центр симметрии, продолжаем линию и откладываем от центра такое же расстояние в другую сторону — получаем симметричную точку:
Соединим эти две полученные точки — получим отрезок, симметричный исходному относительно центра.
Дальше так же, по точкам, строим симметричные отрезки для остальных отрезков исходной фигуры.
Получили фигуру, симметричную исходной фигуре относительно указанного центра. На рисунке новая фигура показана синим цветом.
Симметричные числа, слова и предложения.
Числа, слова и предложения, которые читаются одинаково слева направо и справа налево, называются палиндромами. Палиндромы обладают симметрией (в смысле прочтения) и имеют «ось» симметрии.
Например, 4, 22, 303, 7117, 123454321 — это числа-палиндромы.
В этих числах имеется центральная цифра или промежуток между цифрами, слева и справа от которых на одинаковом расстоянии находятся одинаковые цифры. Эта цифра (или промежуток между цифрами) и будет «осью» симметрии палиндрома.
Например, в числе 4 всего одна цифра, оно читается слева направо и справа налево одинаково, осевая цифра — 4, так как слева и справа от неё ничего нет.
В числе 123454321 осевая цифра 5, слева и справа от нее находятся четвёрки, затем тройки, затем двойки, затем единицы.
В числе 71|17 нет осевой цифры, «осью» является промежуток между цифрами 1 и 1.
Примеры слов-палиндромов: боб, дед, заказ, потоп, Ан|на, Ал|ла, летел.
Примеры предложений-палиндромов (при почтении пробелы и знаки препинания не учитываются):
- А роза упала на лапу Азора.
- Ты, Саша, сыт.
- Туши рано фонари, шут!
- Нажал кабан | на баклажан.
В словах-палиндромах и предложениях-палиндромах тоже есть «ось» симметрии: центральная буква или промежуток между двумя одинаковыми центральными буквами. В примерах они выделены жирным шрифтом.
Задача 4.
Закончите предложение так, чтобы получился палиндром:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ ……………………….
Решение.
В таких задачах подразумевается, что закончить предложение надо осмысленными словами (не абра-кадаброй) так, чтобы слева направо и справа налево предложение читалось одинаково.
Начнём с последней буквы — она должна быть такая же, как первая:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ ……………………М.
Предпоследняя буква — такая же, как вторая:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ …………………ОМ.
Продолжаем так до тех пор, пока предложение слева направо и справа налево не будет читаться одинаково. Можно проверять это после добавления каждой буквы.
В результате получим такое предложение:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ ЛЕДОКОЛОМ.
Буквы и слова с зеркальной симметрией.
Так как каждая буква — это фигура, то она тоже может быть симметричной и иметь ось симметрии.
В русском алфавите 12 букв с вертикальной осью симметрии, 12 — с горизонтальной осью симметрии, причем 5 букв имеют обе эти оси:
Поэтому, если написать горизонтально слово буквами В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х, Э, Ю, то получится слово, имеющее горизонтальную ось симметрии.
Если написать вертикально слово буквами А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш, то получится слово, имеющее вертикальную ось симметрии. А если написать этими буквами слово горизонтально, то, чтобы у него была вертикальная ось симметрии, нужно, чтобы оно было еще и палиндромом.
Задача 5.
Расшифруйте секретное послание:
Решение.
Знаки в послании очень напоминают половинки букв, отрезанные по оси симметрии.
Дорисовав зеркальные отражения половинок букв, получим:
&