Многоугольники. Периметр.
На этом занятии мы рассмотрим задачи, связанные с многоугольниками.
Многоугольник — это фигура, составленная из последовательно соединённых прямых отрезков, причём последний отрезок соединяется с первым отрезком. В зависимости от количества углов многоугольник может называться треугольником, четырёхугольником, пятиугольником, шестиугольником и так далее.
Отрезки, из которых составлен многоугольник, называются сторонами многоугольника.
У многоугольника столько сторон, сколько и углов: у треугольника 3 стороны, у четырёхугольника 4 стороны, у семиугольника 7 сторон и так далее.
Два многоугольника называются равными, если их можно совместить, наложив один на другой. То есть, если вырезать эти фигуры из бумаги и попробовать наложить друг на друга (возможно, повернув или перевернув), то они полностью совпадут.
Задача 1.
Найдите на рисунке треугольник, равный синему треугольнику.
Решение.
Можно решить эту задачу практически: распечатать рисунок, вырезать фигуры и попробовать совместить их с помощью наложения.
Но можно сделать это мысленно.
Синему треугольнику равен треугольник 3. Действительно, у обоих треугольников две стороны располагаются по линиям клеток и имеют длину 2 и 4. При совмещении треугольников эти стороны совпадут. Но тогда и третья сторона одного треугольника совпадёт с третьей стороной другого треугольника. Значит, треугольники полностью совпадут.
Ответ: треугольник 3.
Если сложить длины всех сторон многоугольника, получится его периметр.
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника, или, по-другому, длина границы многоугольника.
Рассмотрим некоторые многоугольники, с которыми мы наиболее часто встречаемся как в задачах, так и в жизни.
Треугольник:
Если все стороны треугольника равны, то он называется равносторонним.
На рисунке последний треугольник — равносторонний.
Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые:
У прямоугольника противоположные стороны равны.
На рисунке стороны одинаковой длины показаны одинаковым цветом.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Любой квадрат является прямоугольником, но не любой прямоугольник является квадратом.
Задача 2.
На рисунке прямоугольник составлен из трёх одинаковых квадратов.
Периметр каждого квадрата равен 4 см.
Найдите периметр прямоугольника.
Решение.
Периметр — это сумма длин всех сторон. У квадрата 4 стороны и все они равны. Значит, длина каждой стороны — это четвертинка периметра.
Если периметр каждого квадрата на рисунке равен 4 см, то каждая сторона квадрата равна 1 см.
Теперь посмотрим на прямоугольник:
У него красные стороны равны 1 стороне квадрата, синие стороны равны 3 сторонам квадрата. То есть красные стороны имеют длину 1 см каждая, а синие стороны — 3 см каждая.
Если сложить длины всех сторон прямоугольника, получим 1+1+3+3=8 см. Это периметр прямоугольника.
Ответ: 8 см.
Задача 3.
На рисунке показан путь автобуса. Начальная и конечная точки пути совпадают.
Сколько проехал автобус?
Решение.
Как видно из рисунка, путь автобуса представляет собой многоугольник. Чтобы решить задачу, нужно найти периметр этого многоугольника.
Длины почти всех участков пути указаны, кроме одного:
Но мы можем найти длину этого участка пути. Достроим маршрут автобуса, как показано на рисунке:
Так как в прямоугольнике противоположные стороны равны, то длины красных отрезков равны.
Кроме того, равны отрезки, отмеченные синими дугами, так как это противоположные стороны большого прямоугольника:
Так как отрезки, отмеченные дугами, равны 6, то красный отрезок равен 6-3=3:
Теперь мы можем найти длину всего пути автобуса. Сложим длины всех участков, получим 6+1+3+2+3+3=18.
Ответ: 18.