Обратный ход.
На этом занятии мы будем рассматривать задачи, в которых известен результат, и спрашивается, что же было в начале. Такие задачи решаются необычным способом: мы начинаем решение не с начала, а с конца, и двигаемся в обратную сторону – от конца к началу. При этом бывает очень удобно и полезно нарисовать схему.
Задача 1.
На крыше сидели птицы. 2 из них улетело, потом 4 прилетело, и птиц стало 7. Сколько птиц было сначала?
Решение.
Нарисуем схему, как происходило изменение количества птиц на крыше. В кружочках будем писать количество птиц на каждом этапе, а над стрелочками — действия, показывающие, на сколько увеличивалось или уменьшалось количество птиц.
Сначала нам известен только результат, и схема выглядит так:
Нам нужно узнать, сколько птиц было сначала, то есть в первом кружочке. Будем двигаться от последнего кружочка к началу.
Посмотрим на предпоследний кружок. В нем было несколько птиц, затем 4 птицы прилетело, и их стало 7. Значит, в этом кружочке было на 4 птицы меньше, то есть 7-4=3 птицы. Отметим это на схеме:
Теперь узнаем, сколько птиц было в первом кружочке, если после того, как 2 из них улетело, стало 3 птицы. Значит, в первом кружочке было на 2 птицы больше, то есть 3+2=5 птиц:
И мы получили ответ: сначала на крыше было 5 птиц.
Заметим, что двигаясь от конца к началу и заполняя пустые кружочки, мы совершали действия, обратные действиям над стрелками:
Ответ: 5 птиц.
Замечание.
В задачах на обратный ход очень полезно сделать проверку найденного ответа. Для этого подставляем ответ в качестве начального количества, производим все действия, указанные в задаче. Если получим тот же результат, что указан в условии, то задача решена верно.
Задача 2.
В инкубаторе лежали яйца. Сначала вылупились цыплята из половины яиц и еще одного яйца. Потом – из половины оставшихся и еще из одного яйца. Потом – из половины оставшихся и еще из одного яйца, и больше яиц не осталось. Сколько яиц было в инкубаторе сначала?
Решение.
Нарисуем схему, как менялось количество яиц в инкубаторе. Заметим, что если из половины яиц вылупились цыплята, то в инкубаторе осталась вторая половина яиц, то в 2 раза меньше, чем было.
Двигаясь от конца к началу и совершая обратные действия, заполняем все пустые кружочки. Заметим, что действие, обратное делению, — это умножение. Действительно, если в инкубаторе было несколько яиц, а потом осталась половина (то есть в 2 раза меньше), то до этого было в 2 раза больше.
В первом кружочке получаем то количество яиц, которые было в инкубаторе с самого начала:
Ответ: 14 яиц.
Задача 3.
На скамейке сидели дети. Между каждыми двумя детьми село еще по 1. Потом опять между каждыми двумя детьми село еще по 1, и всего детей стало 9. Сколько их было вначале?
Решение.
Начнем решать задачу с конца. Нарисуем схематично 9 детей на скамейке:
Закрасим тех детей, которые сели в последнюю очередь:
Значит, до этого детей было 5 (на рисунке они белые). Перерисуем их:
Теперь закрасим тех детей, которые сели в первую очередь:
Незакрашенными остались круги, обозначающие детей, которые сидели на скамейке в начале задачи. Как видно, их было 3.
Ответ: 3 детей.
Задача 4.
Крош и Ёжик решили поменяться фантиками из своих коллекций. Сначала Крош отдал Ёжику 3 синих фантика в обмен на 1 серебристый. Затем Ёжик поменял 2 своих оранжевых фантика на 4 прозрачных фантика Кроша. А потом пришла Нюша и подарила Крошу и Ёжику фантики от 8 разноцветных карамелек, поровну каждому. И теперь у Кроша и Ёжика стало по 20 фантиков. Сколько фантиков было у каждого из них до того, как они решили поменяться?
Решение.
В этой задаче есть два персонажа, у которых меняется количество фантиков, поэтому для каждого из них мы рисуем свою схему.
Нарисуем, как происходило изменение количества фантиков у Кроша и у Ёжика. В кружочках будем писать количество фантиков на каждом шаге обмена, а над стрелочками — действия, показывающие, на сколько увеличивалось или уменьшалось количество фантиков. Сначала нам известен только результат, и схема выглядит так:
Двигаясь от последних кружочков к началу и совершая обратные действия, заполняем все пустые кружочки:
Получаем, что до начала обмена у Кроша было 20 фантиков, а у Ёжика — 12.
В задачах, в которых участвует два и более персонажей, можно использовать таблицу вместо «цепочек». Для этой задачи таблица выглядит так:
Двигаясь снизу вверх и совершая обратные действия, заполняем все пустые клетки таблицы. В первой строчке получим решение задачи:
При достаточной тренировке можно не рисовать стрелки, а производить все действия в уме.
Ответ: у Кроша — 20 фантиков, у Ёжика — 12 фантиков.