Закономерности. Суммирование рядов.
В задачах на поиск закономерности обычно дан некоторый набор элементов (чисел, фигур, картинок, слов), расположенных в определённом порядке, например, в ряд, по кругу, в виде таблицы. Найти закономерность — значит, найти правило, по которому в этом наборе происходит повторение или изменение элементов. После того, как закономерность найдена, в задаче требуется дополнить набор еще несколькими элементами или найти элемент, который нарушает закономерность.
1. Числовые закономерности.
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1.
Продолжите ряд:
2, 5, 8, 11, 14, …
Решение.
В этой задаче даны числа, которые расположены в ряд. Каждое следующее число в ряду на 3 больше предыдущего. Значит, следующим числом будет 14+3=17.
Ответ: 17.
Задача 2.
Напишите два следующих числа в ряду:
1, 2, 5, 4, 9, 6, …
Решение.
Здесь можно увидеть, что ряд чисел состоит из двух частей – числа на 1-м, 3-м, 5-м местах отличаются друг от друга на 4, а числа на 2-м, 4-м, 6-м местах отличаются друг от друга на 2. Значит, два следующих числа — 9+4=13 и 6+2=8.
Ответ: 13 и 8.
Задача 3.
Продолжите ряд:
2, 3, 5, 8, 12, …
Решение.
В этом ряду второе число больше первого на 1, третье больше второго на 2, четвёртое больше третьего на 3, пятое больше четвёртого на 4. Значит, следующее число будет больше пятого на 5 и равно 12+5=17.
Ответ: 17.
Задача 4.
Продолжите ряд:
2, 3, 5, 8, 13, …
Решение.
Эта задача очень похожа на предыдущую, но решение совсем другое. Здесь можно заметить, что каждое число в ряду равно сумме двух предыдущих чисел. Например, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, а 13 = 5 + 8. Значит, следующее число в последовательности будет равно сумме 8 и 13, то есть 21.
Ответ: 21.
2. Буквенные закономерности.
Закономерности бывают не только числовые. Рассмотрим несколько задач с буквами.
Задача 5.
Какая буква будет следующей в ряду?
Я, Э, Ы, Щ, Ч, …
Решение.
Можно заметить, что буквы в ряду расположены в обратном алфавитном порядке и через одну. Значит, следующая буква будет Х.
Ответ: Х.
Задача 6.
Продолжите ряд:
АБА, БВВБ, ВГГГВ, …
Решение.
Каждое буквосочетание начинается и заканчивается буквой, следующей по алфавиту. А в середине стоит буква, следующая за ней по алфавиту, причем в каждом следующем буквосочетании букв в середине на 1 больше, чем в предыдущем. Значит, следующий элемент ряда — это ГДДДДГ.
Ответ: ГДДДДГ.
Задача 7.
Продолжите ряд:
я, ф, м, а, м, и, и, а, …
Решение.
Алфавитный порядок здесь никак не соблюдается. Значит, тут какое-то другое правило. Можно попробовать вспомнить известные последовательности слов. Например, названия месяцев года начинаются с букв данного ряда: январь, февраль, март и так далее. Значит, после а (август) должна стоять буква с (сентябрь).
Ответ: с.
3. Графические закономерности.
В этих задачах нужно найти правило, по которому составлен ряд или таблица из фигур или картинок.
Задача 8.
Продолжите ряд:
Решение.
В этом ряду красные круги чередуются с жёлтыми и зелёными. Значит, следующий элемент — жёлтый круг.
Ответ: 
Задача 9.
Догадайтесь, по какому правилу меняются картинки в ряду. Какая из фигур А, Б, В или Г будет следующей?
Решение.
По первым трём картинкам можно увидеть, что оранжевый прямоугольник на каждой следующей картинке смещается на одну линейку вниз. Кроме того, чередуется положение оранжевого прямоугольника с левой и с правой стороны картинки. Значит, следующей картинкой будет В, где оранжевый прямоугольник находится в четвёртой сверху линейке и с правой стороны.
Ответ: фигура В.
Задача 10.
Какую из кошек 1-6 нужно поместить в пустую клетку?
Решение.
В этой задаче изображения кошек расположены в виде таблицы. Кошки отличаются по четырём признакам: форме тела, форме головы, форме хвоста и количеству усов.
Как видно по первым двум строкам и первым двум столбцам таблицы, в каждой строке и в каждом столбце есть все три вида тел, все три вида голов, все три вида хвостов и все три вида усов.
Чтобы эта закономерность выполнялась для последней строки и последнего столбца, нужно, чтобы у кошки в пустой клетке было квадратное тело, круглая голова, хвост направо и по 1 усику с каждой стороны. Это кошка 4.
Ответ: кошка 4.
4. Суммирование числовых рядов.
Мы знаем, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Значит, если нужно найти сумму большого количества чисел, то мы можем складывать их в любом удобном порядке. Рассмотрим несколько способов удобного нахождения суммы чисел некоторых последовательностей.
Задача 11.
Найдите сумму чисел ряда:
2, 3, 9, 3, 4, 11, 4, 5, 13, 5, 6, 15.
Решение.
Удобно разбить числа ряда на тройки и суммировать так:
2+3+9+3+4+11+4+5+13+5+6+15 = (2+3+15)+(3+4+13)+(4+5+11)+(5+6+9) = 20+20+20+20 = 80.
Ответ: 80.
Задача 12.
Найдите сумму чисел ряда:
1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3.
Решение.
Мы видим, что в ряду три раза повторяется тройка чисел 1, 3, 5 и в конце еще два числа 1 и 3.
Значит, можно найти сумму чисел так:
1+3+5+1+3+5+1+3+5+1+3 = (1+3+5)*3 + 1 + 3 = 9*3 + 4 = 31.
Ответ: 31.
Задача 13.
Найдите сумму всех чисел от 1 до 100.
Решение (метод Гаусса).
Запишем сумму чисел от 1 до 100 дважды друг по другом, в прямом и обратном порядке:
Затем сложим все числа по столбцам:
В каждом столбце сумма чисел равна 101, всего столбцов 100. Значит, сумма чисел в двух рядах равна 101*100=10100. Но так как при этом мы просуммировали каждое число от 1 до 100 дважды, то эта сумма равна 10100:2=5050.
Ответ: 5050.
Замечание.
Этот метод подсчета называется методом Гаусса. По легенде, его придумал в детстве немецкий математик Карл Гаусс. Таким способом можно суммировать числа в рядах, в которых каждый следующий элемент больше предыдущего на одну и ту же величину (или меньше предыдущего на одну и ту же величину). Для этого нужно:
- записать ряд дважды: в прямом порядке и в обратном, друг под другом;
- сложить числа в получившихся столбцах, в каждом столбце сумма будет одна и та же;
- умножить сумму чисел в столбце на количество столбцов (их будет столько же, сколько чисел в одном ряду);
- разделить полученное произведение пополам.