3-4 класс. Неделя 13 (с 28 ноября по 4 декабря). Теория.

Наихудший случай.

В жизни довольно часто приходится сталкиваться с более или менее удачливыми людьми. Кому-то везёт, и обстоятельства для него складываются благоприятно, а кому-то не везёт, и ему приходится изрядно потрудиться, чтобы преодолеть препятствия и достичь цели.

Математики не привыкли полагаться на везение. При решении математических задач, в которых результат может быть случайным, мы рассматриваем самый неудачный, наихудший случай и оцениваем, как получить нужный результат даже в этом случае. При этом мы стараемся достичь цели с наименьшими затратами.

Итак, при решении задач этого занятия важно:

1. рассмотреть наихудший случай из возможных,
2. достичь результата с наименьшими затратами.

Чтобы понять, какой случай является наихудшим, нужно, чтобы была какая-то цель или требование, которое нужно выполнить. Например, если в кармане лежат разноцветные шарики, и нужно достать два одинаковых по цвету, то наихудший случай — это когда попадаются шарики разных цветов. Если, наоборот, нужно достать хотя бы два шарика, разных по цвету, то наихудший случай — это когда попадаются только одинаковые шарики.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.
В ящике 8 одинаковых на ощупь машинок, 3 красных и 5 синих. Вася хочет не глядя достать из ящика синюю машину. Сколько машинок он должен достать, чтобы среди них точно была синяя?

Решение.
Цель Васи — достать синюю машинку.
В этой задаче мы рассматриваем наихудший случай: Васе очень не везёт, и пока он может достать не синюю машинку, синяя ему не попадётся.

В ящике 3 не синих (то есть красных) машинки, поэтому первой, второй и третьей ему попадется красная машинка, и только четвертой – синяя, потому что красных больше не осталось. Значит, Вася должен достать 4 машинки.

В принципе, Вася может достать больше 4 или даже все 8 машинок, тогда у него тоже будет синяя. Но мы всегда хотим решить задачу с наименьшими затратами, то есть не доставать лишнего, а достать самое маленькое число предметов, нужное нам для достижения цели.

Ответ: 4 машинки.

Задача 2.
Теперь в ящике 10 одинаковых на ощупь машинок, 2 зелёных, 3 красных и 5 синих. Вася хочет не глядя достать из ящика синюю и зеленую машины. Какое наименьшее число машинок он должен достать, чтобы среди них точно были синяя и зелёная?

Решение.
Снова рассматриваем наихудший случай. Сначала Вася достанет 3 красные машины, которые ему не нужны. Дальше он достанет все синие и только потом – зеленую. Получаем 3+5+1 = 9 машинок.

Почему мы посчитали, что после красных машинок Васе в худшем случае будут попадаться все синие? Ведь могут же попасться зелёные? Тогда получится, что Васе для достижения цели нужно достать 3+2+1=6 машинок. Но 6 машинок взять недостаточно, ведь в самом худшем случае Васе попадутся 3 красных и 3 синих, а зелёных машинок не будет.

То есть, если Васе нужны машинки разных цветов, то в последнюю очередь ему попадутся те, которых меньше по количеству.

Ответ: 9 машинок.

Задача 3.
В коробке лежат шоколадные яйца с сюрпризом. В некоторых яйцах игрушечные зайцы, в других – белки. Сколько яиц надо достать, чтобы среди них точно было 4 одинаковых игрушки?

Решение.
Если мы хотим получить 4 одинаковых игрушки, то наихудший случай — это когда среди взятых яиц нет 4 одинаковых игрушек, то есть не больше 3 одинаковых игрушек.

У нас всего 2 вида игрушек. Поэтому понятно, что 2*3=6 яиц взять недостаточно: в худшем случае попадутся 3 белки и 3 зайца. Если взять 7 яиц, то седьмой может быть белка (и тогда получим 4 белки и 3 зайца) или заяц (и тогда получим 4 зайца и 3 белки). То есть, в любом случае, в 7 шоколадных яйцах точно окажется 4 одинаковых игрушки.

Ответ: 7 яиц.

Задача 4.
У хозяйки в коробке лежат 10 одинаковых пар тапочек. Сколько тапочек нужно взять гостю из коробки не глядя, чтобы среди них точно попалась пара?

Решение.
Пара состоит из левой и правой тапочки. Цель гостя — достать из коробки пару. Худший случай — это когда из тапочек пару составить нельзя, то есть попались только левые или только правые тапочки.

Поскольку известно, что в коробке 10 левых и 10 правых тапочек, то гостю нужно достать 10+1=11 тапочек, чтобы получить пару. Если взять меньше тапочек, то могут попасться только левые или только правые.  А 11-я тапочка точно будет парой к какой-нибудь из предыдущих.

Ответ: 11 тапочек.

Задача 5.
В коробке лежат шарики трёх цветов. Чтобы вытащить не глядя 1 красный шарик, нужно взять 10 шариков, чтобы вытащить 1 зелёный — 15 шариков, чтобы вытащить 1 жёлтый — 8 шариков. Сколько всего шариков в коробке? А сколько шариков каждого цвета?

Решение.
В задаче сказано: «чтобы вытащить не глядя 1 красный шарик, нужно взять 10 шариков». Это значит, не красных шариков (то есть зелёных и жёлтых) — 9 штук. Аналогично, не зелёных шариков (то есть красных и жёлтых) — 14 штук, а не жёлтых шариков (то есть красных и зелёных) — 7 штук.

Итак, зелёных и жёлтых шариков — 9, красных и жёлтых — 14, красных и зелёных — 7. Если сложить эти три числа, то получим 30 шариков, причем все шарики мы посчитаем дважды. То есть всего шариков будет 30:2=15.

Всего шариков 15, а не красных — 9. Значит, красных шариков — 15-9=6 штук. Аналогично, зелёных шариков — 1, жёлтых шариков — 8.

Ответ: всего 15 шариков, из них 6 красных, 1 зелёный и 8 жёлтых.