Плюс-минус один.
На этом занятии мы разберем задачи на подсчет предметов и промежутков между предметами. При решении таких задач очень помогают рисунки и схемы.
1. Предметы и промежутки между ними.
Можно заметить, что если предметы расположены в ряд, то промежутков между ними на один меньше, чем предметов. На рисунке 9 домиков расположены в ряд, и между ними 8 промежутков:
Так как после каждого домика в ряду, кроме последнего, следует промежуток, то этих домиков столько же, сколько промежутков. А вместе с последним домиком их на 1 больше, чем промежутков.
Если предметы расположены по кругу, то промежутков между ними ровно столько же, сколько самих предметов. На этом рисунке 9 домиков расположены по кругу, и между ними 9 промежутков:
Так как после каждого домика в круге следует промежуток, то домиков и промежутков поровну.
Задача 1.
Мама положила на стол 5 яблок в ряд, а Маша положила между каждыми двумя яблоками по груше. Сколько груш положила Маша?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Между 5-ю яблоками, расположенными в ряд, есть 4 промежутка, куда можно положить грушу:
Значит, Маша положила 4 груши.
Ответ: 4 груши.
Важное замечание.
Некоторые люди понимают выражение «между каждыми двумя яблоками» по другому, как показано на рисунке:
Это неверно, ведь в этом случае груши расположены НЕ между каждыми двумя яблоками: между 1-м и 2-м яблоками и между 3-м и 4-м яблоками груш нет.
Задача 2.
Папа положил на блюдо 5 яблок по кругу, а Ваня положил между каждыми двумя яблоками по груше. Сколько груш положил Ваня?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Между 5-ю яблоками, расположенными по кругу, есть 5 промежутков, куда можно положить грушу:
Значит, Ваня положил 5 груш.
Ответ: 5 груш.
Задача 3.
Катя собирала в лесу ягоды и нанизывала их на травинки так, чтобы между каждыми двумя ягодами черники была ягода земляники. Катя сделала 3 такие цепочки из ягод. Она пересчитала все ягодки черники в цепочках, и их оказалось 10. А сколько ягод земляники?
Решение.
1 способ.
Так как на травинке ягоды расположены в ряд, а землянички расположены между каждыми двумя черничками, то на одной травинке черничек на 1 больше, чем земляничек. На второй травинке тоже черничек на 1 больше, чем земляничек. И на третьей травинке так же.
Значит, в на трёх травинках вместе черничек на 1+1+1=3 больше, чем земляничек. Черничек Катя насчитала 10, тогда земляничек было 10-3=7.
2 способ.
Предположим, что Катя нанизала все ягоды на одну травинку. Если черничек 10, то земляничек на 1 меньше, то есть 9:
Но Катя сделала 3 цепочки. Как одну травинку превратить в три? Нужно убрать любые 2 землянички и разрезать травинку 2 раза:
Так как 2 землянички мы убрали, то осталось 9-2=7 земляничек на трёх травинках.
Ответ: 7 ягод земляники.
2. Распилы и разрезы.
В этих задачах нужно учитывать, является ли распиливаемый (разрезаемый) предмет прямым или замкнутым. Если предмет прямой (полоска бумаги, бревно, палка, лента), то количество частей будет на 1 больше, чем количество разрезов . Если предмет замкнутый (кольцо, бублик), то количество частей равно количеству разрезов.
Задача 4.
Несколько министров и их помощников приехали на открытие новой школы, чтобы по традиции разрезать красную ленточку. Министры и помощники встали в ряд так, что между каждыми двумя министрами стоял помощник. Затем каждый из них сделал по 1 торжественному разрезу, и ленточка распалась на 8 частей. Сколько министров и сколько помощников резало ленточку?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Лента прямая. Если ее разрезать, то ее части будут расположены в ряд. Каждый разрез — это промежуток между частями. Значит, разрезов будет на 1 меньше, чем частей:
Так как ленточка распалась на 8 частей, то разрезов было сделано 7. Так как каждый человек сделал по 1 разрезу, то министров и помощников было всего 7.
По условию задачи министры стояли в ряд, а между каждыми двумя министрами стоял помощник. Значит, помощников было на 1 меньше, чем министров. Если бы министров было на 1 меньше, то их и помощников было бы поровну, а всего их было бы 6 человек. То есть помощников 3 и министров было бы 3. Но министров все же на 1 больше, чем помощников. Значит, было 4 министра и 3 помощника.
Ответ: 4 министра и 3 помощника.
Задача 5.
Двое мышат нашли бублик и притащили его в норку. Чтобы поделиться со всеми братьями и сёстрами, они разрезали бублик пополам, затем каждую половину еще на 3 части. Сколько разрезов сделали мышата?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Если мышата сначала разрезали пирог пополам, а затем каждую часть еще на 3 части, то всего получилось 6 кусков бублика. Поскольку бублик в форме кольца, то количество кусков равно количеству разрезов. Значит, было сделано 6 разрезов.
Можно рассуждать по-другому. Чтобы разрезать кольцо пополам, нужно сделать 2 разреза. Получившиеся две части – незамкнутые, с двумя концами. Поэтому, чтобы разрезать каждую часть еще на 3 части, нужно сделать по 2 разреза каждой части. Таким образом всего будет 2+2+2=6 разрезов.
Ответ: 6 разрезов.
3. Что считаем – предметы или промежутки?
Для правильного решения задачи нужно понимать, что в каждом случае мы должны подсчитать – предметы или промежутки между ними.
Задача 6.
Если Карлсон съест 6 конфет, то он сможет взлететь с 1-го до 3-го этажа, а дальше топливо кончится. Сколько конфет нужно съесть Карлсону, чтобы взлететь с 1-го до 5-го этажа?
Решение.
Неверное решение:
Если для подъёма на 3-й этаж Карлсону нужно съесть 6 конфет, значит, на 1 этаж тратится 2 конфеты. Поэтому, чтобы подняться на 5-й этаж, ему нужно съесть 5 раз по 2 конфеты, то есть 10 конфет.
В данном случае мы считали этажи (предметы), что привело к ошибке.
Верное решение:
Посмотрим на рисунок:
Чтобы подняться с 1-го до 3-го этажа, Карлсону нужно пролететь расстояние с 1-го до 2-го этажа и такое же расстояние со 2-го этажа до 3-го, то есть 2 одинаковых промежутка. Так на на 2 промежутка он тратит 6 конфет, то на 1 такой промежуток он потратит 3 конфеты.
Чтобы подняться с 1-го до 5-го этажа, Карлсону нужно пролететь 4 таких промежутка. Значит, ему потребуется для этого съесть 4 раза по 3 конфеты, то есть 12 конфет.
Ответ: 12 конфет.
4. Количество последовательных чисел.
При решении этих задач часто вычитают из большего числа меньшее, что приводит к ошибке.
Задача 7.
С 10 июля по 7 августа в доме у Ивана Ивановича Архимеда отключали горячую воду. Сколько дней ему приходилось греть воду для ванны в кастрюльке?
Решение.
Горячей воды в доме Архимеда не было с 10 по 31 июля и с 1 по 7 августа.
С 1 по 7 августа — это 7 дней.
Посчитаем, сколько дней будет с 10 по 31 июля. Очень часто это делают так: 31-10=21 день. Но это неверно.
Если бы воду отключили с 1 по 31 июля, то это 31 день. Но воду отключили 10 июля, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 июля (в сумме 9 дней) горячая вода у Архимеда еще была. Значит, из 31 дня июля нужно вычесть первые 9, получится 31-9=22 дня.
В июле 22 дня и в августе 7 дней, а всего 22+7=29 дней. Именно столько дней Архимеду приходилось греть воду в кастрюльке.
Ответ: 29 дней.