Головы и ноги.
К теме «Головы и ноги» относятся задачи на подсчет голов, ног, ушей, хвостов, глаз и других частей различных существ. Кроме того, в этой теме рассматриваются и другие задачи, которые решаются похожим образом. Удобнее всего такие задачи решать графически, то есть с помощью рисунков и схем. Рассмотрим несколько задач.
1. Головы и ноги.
Задача 1.
У бабушки на дворе живут кролики и утки. Всего у них 5 голов и 16 лап. Сколько у бабушки кроликов и сколько уток?
Решение.
Сначала вспомним, что у кроликов и уток по 1 голове. Значит, раз голов было 5, то и всего животных и птиц было 5. У уток по 2 лапы, а у кроликов по 4.
Нарисуем схематично 5 голов:
Предположим, что все животные — это утки, а кроликов нет. Поскольку у уток по 2 лапы, то пририсуем каждой голове по 2 лапы:
Тогда получается, что у животных 2+2+2+2+2=10 лап. А должно быть 16 лап, то есть не хватает 6 лап.
Добавить кроликов и уток мы не можем, потому что тогда увеличится количество голов.
Чтобы увеличить количество лап, и при этом не изменить количество голов, заменим 1 утку на 1 кролика.
Поскольку у кролика 4 лапы, то пририсуем одной утке еще 2 лапы — получится кролик:
Теперь получилось всего 12 лап, не хватает еще 4.
Заменим еще 1 утку на 1 кролика:
Теперь получилось всего 14 лап, не хватает еще 2.
Заменим еще 1 утку на 1 кролика:
Теперь получилось всего 16 лап, как и указано в условии задачи.
Таким образом, у нас получилось 3 кролика и 2 утки.
Замечание. Можно заметить, что при замене 1 утки на 1 кролика количество голов остается прежним, а количество лап увеличивается на 2.
Чтобы получить 16 лап вместо 10, нужно 3 уток заменить на 3 кроликов.
Ответ: 3 кролика и 2 утки.
2. Не только головы и ноги.
Есть много задач, в которых не упоминаются головы и ноги, но решаются они похожим образом.
Задача 2.
В семье 7 детей. Мама купила детям по 1 набору наклеек: мальчикам — с динозаврами, девочкам — с бабочками. Набор наклеек с динозаврами стоит 2 рубля, а набор наклеек с бабочками — 3 рубля. Всего мама потратила 17 рублей. Сколько в семье девочек?
Решение.
Чтобы ответить на вопрос задачи, выясним, сколько наборов с динозаврами и сколько наборов с бабочками купила мама.
Предположим, что все 7 наборов были с динозаврами, каждый из них стоит 2 рубля:
7 наборов с динозаврами стоят 2+2+2+2+2+2+2=14 рублей. Но мама потратила 17 рублей, то есть на 3 рубля больше.
Заменим 1 набор с динозаврами на 1 набор с бабочками:
Поскольку набор с бабочками на 1 рубль дороже, то стоимость 7 наборов увеличится на 1 рубль.
А чтобы стоимость всех наборов увеличилась на 3 рубля, нужно 3 набора с динозаврами заменить на 3 набора с бабочками:
Получается, что мама купила 3 набора наклеек с бабочками и 4 набора наклеек с динозаврами. Значит, в семье 3 девочки и 4 мальчика.
Ответ: 3 девочки.
3. Если чего-то поровну.
По-другому решаются задачи, если в них сказано, что чего-то (например, ног или голов) поровну. Рассмотрим такие задачи.
Задача 3.
В корзинке сидели 9 котят и утят. Лапок у котят и утят было поровну. Сколько было котят и сколько утят?
Решение.
У котёнка 4 лапки, а у утёнка — 2.
У 1 котёнка столько же лапок, сколько у 2 утят.
Нарисуем схематично всех котят и утят:
Разделим их на тройки «1 котёнок и 2 утёнка»:
Поскольку в каждой тройке количество лапок у котят и утят одинаково, то и общее количество лапок котят и утят будет одинаково.
Теперь посчитаем, сколько котят и сколько утят у нас получилось. Получилось 3 котёнка и 6 утят.
Ответ: 3 котёнка и 6 утят.
Задача 4.
На лугу играли котята и утята. Их было поровну, а лапок у котят было на 8 больше, чем у утят. Сколько всего было котят и утят?
Решение.
Поскольку котят и утят было поровну, то сравним сначала количество лапок у 1 котёнка и 1 утёнка. У котёнка на 2 лапки больше, чем у утёнка.
Будем теперь выписывать пары «котёнок и утёнок». В 1 паре количество лапок у котят на 2 больше, чем у утят:
В 2 парах количество лапок у котят на 4 больше, чем у утят:
В 3 парах количество лапок у котят на 6 больше, чем у утят:
В 4 парах количество лапок у котят на 8 больше, чем у утят, как и требуется в условии задачи:
Значит, всего было 4 пары котят и утят, то есть 8.
Ответ: 8 котят и утят.