Головы и ноги.
К теме «Головы и ноги» относятся задачи на подсчет голов, ног, ушей, хвостов, глаз и других частей различных существ. Кроме того, в этой теме рассматриваются и другие задачи, которые решаются похожим образом. Удобнее всего такие задачи решать графически, то есть с помощью рисунков и схем. Рассмотрим несколько задач.
1. Головы и ноги.
Задача 1.
В вольере зоопарка гуляли жирафы и страусы. У них было 5 голов и 16 ног. Сколько было жирафов и сколько страусов?
Решение.
Сначала вспомним, что у жирафов и страусов по 1 голове. Значит, раз голов было 5, то и всего животных было 5. У страусов по 2 ноги, а у жирафов по 4.
Нарисуем схематично 5 голов:
Предположим, что все животные в вольере — страусы, а жирафов нет. Поскольку у страусов по 2 ноги, то пририсуем каждой голове по 2 ноги:
Тогда получается, что у животных в вольере 2+2+2+2+2=10 ног. А должно быть 16 ног, то есть не хватает 6 ног.
Добавить жирафов и страусов мы не можем, потому что тогда увеличится количество голов.
Чтобы увеличить количество ног, и при этом не изменить количество голов, заменим 1 страуса на 1 жирафа.
Поскольку у жирафа 4 ноги, то пририсуем одному страусу еще 2 ноги — получится жираф:
Теперь получилось всего 12 ног, не хватает еще 4 ноги.
Заменим еще 1 страуса на 1 жирафа:
Теперь получилось всего 14 ног, не хватает еще 2 ноги.
Заменим еще 1 страуса на 1 жирафа:
Теперь получилось всего 16 ног, как и указано в условии задачи.
Таким образом, у нас получилось 3 жирафа и 2 страуса.
Замечание. Можно заметить, что при замене 1 страуса на 1 жирафа количество голов остается прежним, а количество ног увеличивается на 2.
Чтобы получить 16 ног вместо 10, нужно 3 страусов заменить на 3 жирафов.
Ответ: 3 жирафа и 2 страуса.
2. Не только головы и ноги.
Есть много задач, в которых не упоминаются головы и ноги, но решаются они похожим образом.
Задача 2.
В школьном буфете пирожки с вишней стоят 2 рубля, а пирожки с мясом — 3 рубля. Миша купил 7 пирожков с вишней и с мясом и заплатил за них 17 рублей. Сколько пирожков с вишней купил Миша?
Решение.
Предположим, что все 7 пирожков — с вишней, каждый из них стоит 2 рубля:
7 пирожков с вишней стоят 2+2+2+2+2+2+2=14 рублей. Но Миша потратил 17 рублей, то есть на 3 рубля больше.
Заменим 1 пирожок с вишней на пирожок с мясом:
Поскольку пирожок с мясом на 1 рубль дороже, то стоимость 7 пирожков увеличится на 1 рубль.
А чтобы стоимость пирожков увеличилась на 3 рубля, нужно 3 пирожка с вишней заменить на 3 пирожка с мясом:
Получается, что Миша купил 3 пирожка с мясом и 4 пирожка с вишней.
Ответ: 4 пирожка.
3. Если чего-то поровну.
По-другому решаются задачи, если в них сказано, что чего-то (например, ног или голов) поровну. Рассмотрим такие задачи.
Задача 3.
В корзинке сидели 9 котят и утят. Лапок у котят и утят было поровну. Сколько было котят и сколько утят?
Решение.
У котёнка 4 лапки, а у утёнка — 2.
У 1 котёнка столько же лапок, сколько у 2 утят.
Нарисуем схематично всех котят и утят:
Разделим их на тройки «1 котёнок и 2 утёнка»:
Поскольку в каждой тройке количество лапок у котят и утят одинаково, то и общее количество лапок котят и утят будет одинаково.
Теперь посчитаем, сколько котят и сколько утят у нас получилось. Получилось 3 котёнка и 6 утят.
Ответ: 3 котёнка и 6 утят.
Задача 4.
На лугу играли котята и утята. Их было поровну, а лапок у котят было на 8 больше, чем у утят. Сколько всего было котят и утят?
Решение.
Поскольку котят и утят было поровну, то сравним сначала количество лапок у 1 котёнка и 1 утёнка. У котёнка на 2 лапки больше, чем у утёнка.
Будем теперь выписывать пары «котёнок и утёнок». В 1 паре количество лапок у котят на 2 больше, чем у утят:
В 2 парах количество лапок у котят на 4 больше, чем у утят:
В 3 парах количество лапок у котят на 6 больше, чем у утят:
В 4 парах количество лапок у котят на 8 больше, чем у утят, как и требуется в условии задачи:
Значит, всего было 4 пары котят и утят, то есть 8.
Ответ: 8 котят и утят.
А где же задачи?