На шахматной доске.
На этом занятии мы рассмотрим математические задачи, связанные с шахматной доской и шахматными фигурами. Для понимания условий задач нам придется познакомиться с самой доской, на которой происходит игра, и с некоторыми правилами поведения фигур.
1. Шахматная доска. Шахматная раскраска.
Итак, шахматная доска представляет собой игровое поле 8 на 8 клеток. Все столбцы данного поля пронумерованы слева направо первыми восемью буквами латинского алфавита: a, b, c, d, e, f, g, h. Строки пронумерованы числами от 1 до 8. Эта нумерация была введена для записи ходов в шахматных партиях. Таким образом, у каждой клетки шахматной доски есть «имя» из буквы и цифры: a1, b6, f3 и так далее.
Каждая клетка доски (шахматисты называют клетки полями) покрашена в белый или черный цвет:
Такая раскраска любой клетчатой поверхности называется шахматной раскраской. При этом могут использоваться и другие два цвета для раскраски, не обязательно белый и черный.
Шахматная доска и шахматная раскраска имеют множество свойств, например такие:
- Для любой клетки все ее соседи по стороне (а не по диагонали) будут противоположного цвета. Все «соседи» белой клетки будут черного цвета, а все «соседи» черной клетки будут белыми.
- Клетки любой диагонали шахматной доски покрашены в один и тот же цвет.
- Клетка a1 (левая нижняя) шахматной доски является черной. Остальные цвета клеток определяются однозначно.
Эти свойства шахматной раскраски можно применять при решении задач.
Задача 1.
У деда Мазая огород прямоугольной формы длиной 10 м и шириной 5 м. Весь огород разбит на квадраты со стороной 1 м и засажен морковкой, капустой и другими овощами. Морковная грядка находится в левом нижнем квадрате (смотрите схему), а в трёх остальных углах есть тайные входы в заячью нору. Заяц стащил на морковной грядке морковку и теперь удирает в нору. Чтобы запутать следы, первым прыжком он прыгает через 1 квадрат по горизонтали, а вторым — на соседний квадрат по диагонали, далее чередует эти прыжки. Через какие входы (1, 2 или 3) заяц сможет попасть к себе в нору?
Решение.
Раскрасим все квадраты огорода в шахматном порядке:
Теперь посмотрим, по каким клеткам прыгает заяц. Если левая нижняя клетка — черная, то заяц прыгает только по черным клеткам. Действительно, прыгая через 1 клетку по горизонтали, он всегда попадает только на черную клетку. Прыгая на соседнюю клетку по диагонали — снова только на черную.
Входы 2 и 3 находятся в белых клетках огорода. Прыгая по черным клеткам, заяц никак не сможет попасть на белые клетки. Значит, через входы 2 и 3 он в нору не попадёт. А вот вход 1 расположен в черной клетке. Значит, можно попробовать отыскать путь зайца от морковной грядки к входу 1. Один из вариантов маршрута зайца показан на рисунке:
Ответ: через вход 1.
2. Шахматные фигуры.
Всего существует 6 видов шахматных фигур: ферзь, король, ладья, конь, слон и пешка. Фигуры друг от друга кроме внешнего вида отличаются еще и разными способами передвижения по шахматной доске.
Фигуры в шахматах могут за один ход переместиться на свободную клетку доски или на клетку, на которой стоит другая фигура. При этом перепрыгивать через другие фигуры может только конь.
Если на той клетке, куда может пойти фигура, уже стоит другая фигура, то первая фигура может пойти на эту клетку, только, взяв или побив вторую фигуру. При этом вторая фигура снимается с доски, а вместо нее ставится первая. Поскольку в шахматы играют два игрока, то фигуры одного из них имеют белый цвет, а фигуры второго – чёрный, и бить можно только фигуры соперника. Но в задачах иногда цвет фигур не имеет значения. В любом случае это оговаривается заранее в условии.
Клетки (или поля), куда может попасть фигура за один ход, принято называть клетками под боем этой фигуры или битыми клетками.
Слон.
Слон может ходить на по шахматной доске лишь по диагонали. То есть за один ход он может передвинуться на любую клетку, которая находится на той же диагонали, что и он сам. Поскольку любая диагональ шахматной доски покрашена в один и тот же цвет, то при передвижении слон может ходить либо только по белым полям, либо только по чёрным. Шахматисты называют таких слонов белопольными или чёрнопольными. На рисунке красным отмечены все клетки под боем слона, то есть те, в которые он может попасть за один ход.
Ладья.
Ладья может пойти на любое количество клеток по вертикали или горизонтали, на которых в данный момент она находится. Ладья может как менять цвет клетки, на которой она стоит, так и не менять этот цвет.
Король.
Несмотря на свое название, король является самой слабой шахматной фигурой и сильно ограничен в своих передвижениях. Он может ходить только на любую соседнюю с ним по диагонали или стороне клетку. Если король ходит на соседнюю по стороне клетку, он меняет цвет клетки, на которой стоял, если же он ходит по диагонали, то цвет клетки не меняется.
Ферзь.
Самая сильная фигура. Она бьет любую клетку, стоящую с ней на одной и той же диагонали, вертикали или горизонтали. Если ферзя бьет любая другая фигура кроме коня, то ферзь тоже бьет эту фигуру. По сути, ферзь — это объединение слона и ладьи.
Конь.
Конь – самая загадочная фигура, ходит буквой «Г»: на 2 клетки по вертикали (горизонтали), после чего на 1 клетку по горизонтали (вертикали). Лучше всего картинка продемонстрирует все возможные ходы коня. Красные клетки – это те клетки, на которые может сходить конь. Конь каждым своим ходом меняет цвет клетки, на которой он находится.
Задача 2.
На каких полях шахматной доски может стоять конь, если он одновременно бьёт поля C2 и F5?
Решение.
Отметим синим цветом те поля, на которые можно попасть одним ходом коня с поля C2 (то есть поля, с которых можно побить конем поле C2):
Отметим красным цветом те поля, на которые можно попасть одним ходом коня с поля F5 (то есть поля, с которых можно побить конем поле F5):
Теперь у нас два поля (D4 и E3) отмечены и синим, и красным цветом. Это значит, что конь, стоящий на любом из этих полей, одновременно бьет поля C2 и F5.
Ответ: D4 и E3.