Гарантированный случай.
В жизни довольно часто приходится сталкиваться с разными случайными событиями. Но математики не привыкли полагаться на случай. В задачах сегодняшней темы речь пойдет о том, как получить некоторый гарантированный результат при случайных условиях, повлиять на которые невозможно. При этом нужно постараться достичь цели с наименьшими затратами.
В задачах этой темы обычно спрашивается о наименьшем количестве взятых не глядя предметов, таком, чтобы выполнялось некоторое условие. Рассмотрим несколько задач.
Задача 1.
В ящике лежат 8 одинаковых на ощупь машинок: 3 красных и 5 синих. Петя хочет не глядя достать из ящика синюю машину. Сколько машинок он должен взять, чтобы среди них точно была синяя?
Решение.
Цель Пети — достать синюю машинку. Так как красных машинок 3, то взять 1, 2 или 3 машинки недостаточно — они все могут оказаться красными. Значит, Пете нужно взять не меньше 4 машинок.
4 машинки взять достаточно. Так как красных машинок всего 3, то среди любых 4 машинок красных будет не больше 3, а синих — не меньше 4-3=1. То есть среди любых 4 машинок точно будет хотя бы 1 синяя.
В принципе, Петя может достать больше 4 или даже все 8 машинок, тогда у него тоже будет синяя машинка. Но мы всегда хотим решить задачу с наименьшими затратами, то есть не доставать лишнего, а достать самое маленькое количество предметов, нужное нам для достижения цели.
Ответ: 4 машинки.
Важное замечание.
При решении задач этой темы нужно ответить на 2 вопроса:
1) Почему меньше предметов взять недостаточно?
2) Почему именно столько взять достаточно?
В задаче 1 на 1-й вопрос мы ответили, приведя пример, когда 3 или меньше машинок взять нельзя — среди них может не оказаться синей машинки, цель не будет достигнута. На 2-й вопрос мы ответили, доказав, что среди любых 4 машинок всегда будет синяя.
Задача 2.
Теперь в ящике 10 одинаковых на ощупь машинок: 2 зелёных, 3 красных и 5 синих. Петя хочет не глядя достать из ящика синюю и зелёную машины. Какое наименьшее количество машинок он должен взять, чтобы среди них точно были синяя и зелёная?
Решение.
Не синих (красных и зелёных) машинок всего 3+2=5. Поэтому, если Петя возьмёт 5 машинок или меньше, то ему могут попасться только красные и зелёные. 5 машинок взять недостаточно.
Не зелёных машинок (то есть красных и синих) всего 3+5=8. Поэтому, если Петя возьмёт 8 машинок или меньше, ему могут попасться только красные и синие. И 8 машинок тоже взять недостаточно.
Значит, нужно взять не меньше 9 машинок.
9 машинок взять достаточно. Если Петя возьмёт 9 машинок, то в ящике останется всего 1 машинка. Если оставшаяся машинка синяя, то Петя взял 3 красных, 2 зелёных и 4 синих машинки. Если оставшаяся машинка зелёная, то Петя взял 3 красных, 1 зелёную и 4 синих машинки. Если оставшаяся машинка красная, то Петя взял 2 красных, 2 зелёных и 5 синих машинок. Во всех случаях, среди взятых 9 машинок будет и синяя, и зелёная.
Ответ: 9 машинок.
Замечание.
В задаче 2 мы ответили на вопрос «Почему взять меньше 9 машинок недостаточно?», приведя пример, когда среди 8 машинок не будет зелёной машинки. На вопрос «Почему 9 машинок взять достаточно?» мы ответили, доказав, что среди взятых 9 машинок точно будет и синяя, и зелёная.
Задача 3.
В коробке лежат шоколадные яйца с сюрпризом. В некоторых яйцах игрушечные белки, в других – зайцы. Какое наименьшее количество яиц надо взять не глядя, чтобы среди них точно было 2 одинаковые игрушки?
Решение.
У нас всего 2 вида игрушек, поэтому, если взять 2 яйца, то могут попасться белка и заяц. Поэтому 2 яйца взять недостаточно, нужно взять не меньше 3 яиц.
3 яйца взять достаточно, так как среди любых трёх яиц будет хотя бы 2 с одинаковыми игрушками. Если это не так, и яиц с каждым видом игрушек по 1, то яиц всего 1+1=2, а их на самом деле 3.
Таким образом, нужно взять хотя бы 3 яйца.
Ответ: 3 яйца.
Задача 4.
У хозяйки в коробке лежат 10 одинаковых пар тапочек. Какое наименьшее количество тапочек нужно взять гостю из коробки не глядя, чтобы среди них точно попалась пара?
Решение.
В коробке есть 10 левых и 10 правых тапочек. Если гость возьмёт 10 тапочек или меньше, они все могут оказаться на одну ногу, например, все левые. Значит, нужно взять не меньше 11 тапочек.
11 тапочек взять достаточно, так как среди них точно будет хотя бы 1 пара. Если это не так, и ни одной пары нет, то все взятые тапочки — на одну ногу, а значит, всего тапочек не больше 10, а их на самом деле 11.
Таким образом, гостю нужно взять хотя бы 11 тапочек.
Ответ: 11 тапочек.