Уравнения.
Уравнения – это примеры, в которых некоторые числа прячутся под масками, то есть неизвестны.
Решить уравнение – значит узнать, под какой маской какое спряталось число.
Числа могут «надевать» разные маски: картинки, значки, буквы. Обычно одинаковые числа прячутся под одинаковыми масками, а разные числа – под разными. Но иногда и одинаковые числа могут прятаться под разными масками.
Пример 1.
На сегодняшнем занятии мы будем решать задачи, в которых числа неизвестны, но есть некоторая информация про их суммы и разности, то есть будем составлять и решать уравнения.
При решении этих задач важно помнить:
- чем отличается число от цифры и сколько цифр в однозначном числе;
- что значит «больше на столько-то»;
- что значит «меньше на столько-то».
1. Решение подбором чисел.
Все задачи сегодняшнего занятия можно решать путем подбора подходящих чисел.
В этом случае важно помнить, что:
- Перебор чисел нужно упорядочить, чтобы не запутаться и не упустить какой-нибудь подходящий вариант.
- Обязательно нужно сделать проверку для найденных решений, чтобы они соответствовали условиям задачи.
- Во многих задачах решение подбором может быть очень длительным, поскольку приходится перебирать много чисел.
Задача 1.
Мальчики Ваня, Даня и Коля играют машинками. У Вани на 1 машинку больше, чем у Дани. А у Коли на 2 машинки меньше, чем у Дани. Всего у мальчиков 11 машинок. Сколько машинок у каждого из мальчиков?
Решение.
Попробуем решить эту задачу путем подбора правильных чисел.
11 машинок нужно так распределить между тремя мальчиками так, чтобы у одного было на 1 машинку больше, чем у второго, а у третьего на 2 машинки меньше, чем у второго.
Понятно, что у всех мальчиков разное количество машинок.
Итак, в качестве решения нам могут подойти три разных числа, которые в сумме дадут 11. Переберем по порядку все возможные варианты:
- 11=1+2+8
- 11=1+3+7
- 11=1+4+6
- 11=2+3+6
- 11=2+4+5
Из условия задачи можно сделать вывод, что у Коли меньше всех машинок, а у Вани больше всех. Проверяем найденные нами наборы чисел на соответствие условиям задачи, учитывая, что наименьшее число – это машинки Коли, а наибольшее – это машинки Вани. У Коли должно быть на 2 машинки меньше, а у Вани на 1 машинку больше, чем у Дани. Получаем, что условиям задачи соответствует последний вариант: 11=2+4+5, а остальные не подходят.
Ответ: у Коли 2 машинки, у Дани – 4, у Вани – 5.
Итак, при подборе мы перебирали числа в определенном порядке, а затем сделали проверку всех вариантов. Таким образом, нашли единственное верное решение.
2. Известна сумма и разность чисел.
Задача 2.
У Маши и Даши 8 кукол. У Маши на 2 куклы больше, чем у Даши. Сколько кукол у Маши? Сколько кукол у Даши?
Решение путем подбора.
Переберем пары чисел, сумма которых равна 8:
- 8=1+7
- 8=2+6
- 8=3+5
- 8=4+4
Теперь проверим, какая пара соответствует условиям задачи: одно число должно быть на 2 больше другого. Из всех вариантов подходит только 8=3+5. Значит, числа 3 и 5 – это решение задачи. Поскольку у Маши больше кукол, чем у Даши, то 5 – это Машины куклы, 3 – это Дашины куклы.
Решение путем рассуждений.
По условию задачи у Маши на 2 куклы больше, чем у Даши, а всего у них 8 кукол. Если Маша уберет на полку 2 своих куклы, то у девочек кукол станет поровну, а всего их будет 8-2=6. Значит, у Маши будет 3 куклы и у Даши будет 3 куклы.
Так как кукол на полку убирала только Маша, то у Даши число кукол не менялось, значит у Даши 3 куклы. Теперь, если Маша снова возьмет с полки 2 куклы, у нее будет 3+2=5 кукол.
Ответ: у Маши 5 кукол, у Даши 3 куклы.
Замечание.
В этой задаче нам были известны сумма количества кукол Маши и Даши и их разность. Ведь то, что у Маши на 2 куклы больше, чем у Даши, означает, что разность количества кукол Маши и Даши равна 2.
Зная сумму и разность двух чисел, мы смогли найти оба этих числа.
Причем здесь уравнения? Обозначим буквой М количество Машиных кукол, а буквой Д — количество Дашиных кукол. Оказывается, что, решив задачу, мы решили два связанных уравнения:
Задача 3.
Сумма двух чисел 7, разность 3. Найдите эти числа.
Решение.
Если разность двух чисел равна 3, то одно число больше второго на 3. Если мы вычтем из большего числа 3, то числа станут равны, но их сумма уменьшится на 3 и станет равна 7-3=4. Поскольку сумма равных чисел равна 4, то каждое из чисел равно 2.
Так как мы вычитали 3 только из одного числа, то второе число осталось без изменений, значит оно равно 2. Вернем теперь первому числу то, что мы из него вычли, то есть 3, получим, что первое число равно 2+3=5.
Ответ: 5 и 2.
3. Известна сумма разных «наборов» чисел.
Задача 4.
1 арбуз и 2 дыни весят 9 кг, а 2 арбуза и 1 дыня весят 12 кг. Сколько весит арбуз? Сколько весит дыня? (Все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково).
Решение путем подбора.
Обозначим вес арбуза буквой А, а вес дыни буквой Д.
Попробуем подобрать А и Д так, чтобы сумма А+Д+Д была равна 9:
- 9=1+4+4
- 9=3+3+3
- 9=5+2+2
- 9=7+1+1
Теперь из этих вариантов нужно выбрать такой, чтобы сумма А+А+Д была равна 12.
Проверяем:
- 1+1+4=6
- 3+3+3=9
- 5+5+2=12
- 7+7+1=15
Таким образом, получаем единственное верное решение: А=5, Д=2.
Решение путем рассуждений.
Пусть в первой корзине лежат 1 арбуз и 2 дыни, а во второй корзине лежат 2 арбуза и 1 дыня. Вес фруктов в первой корзине 9 кг, во второй – 12 кг.
Если мы из первой корзины уберем 1 дыню и положим вместо нее 1 арбуз, то получим тот же набор фруктов, что и во второй корзине, весом в 12 кг. Поскольку при замене дыни на арбуз вес набора увеличился на 3 кг, то можно сделать вывод, что арбуз тяжелее дыни на 3 кг.
Вернемся к первоначальным корзинам. Если теперь мы в первую корзину вместо 1 арбуза положим 1 дыню, то в корзине будет 3 дыни, и вес этого набора фруктов будет 9-3=6 кг (потому что дыня легче арбуза на 3 кг). Поскольку 3 дыни весят 6 кг, то 1 дыня весит 2 кг. Арбуз весит на 3 кг больше дыни, то есть 5 кг.
Ответ: арбуз весит 5 кг, дыня весит 2 кг.
4. Известны попарные суммы чисел.
Задача 5.
Крош, Ежик и Нюша коллекционируют фантики от конфет. У Кроша с Ежиком вместе 7 фантиков, у Ежика с Нюшей вместе 10 фантиков, у Нюши с Крошем вместе 13 фантиков. Сколько фантиков у каждого из этих смешариков?
Решение.
Нам нужно найти числа, которые спрятались за масками самих смешариков:
— эта картинка обозначает количество фантиков Кроша.
— эта картинка обозначает количество фантиков Ежика.
— эта картинка обозначает количество фантиков Нюши.
Из условия задачи нам известно, что:
Если к фантикам Кроша и Ежика прибавить фантики Ежика и Нюши, а также фантики Нюши и Кроша, то получим:
Это то же самое, что:
Значит:
Таким образом, у Кроша, Ежика и Нюши вместе 15 фантиков.
По условию задачи, у Кроша с Ежиком вместе 7 фантиков, значит, у Нюши 15-7=8 фантиков.
У Ежика с Нюшей вместе 10 фантиков, значит, у Кроша 15-10=5 фантиков.
У Нюши с Крошем вместе 13 фантиков, значит, у Ежика 15-13=2 фантика.
Ответ: у Кроша 5 фантиков, у Ежика 2 фантика, у Нюши 8 фантиков.