Симметрия
Слово «симметрия» произошло от греческого слова «соразмерность». Бывают разные виды симметрии, но сегодня мы поговорим про осевую симметрию и про симметричные слова и числа.
1. Осевая симметрия.
Посмотрим на картинки:
Если представить, что через середину каждой картинки проходит прямая линия (ось), то одна половина картинки будет как бы зеркальным отражением другой. Поэтому мы можем сказать, что эти картинки обладают осевой симметрией или симметричны. Линия, которая выполняет роль «зеркала», называется осью симметрии.
У всех указанных выше картинок по 1 оси симметрии. Но у некоторых фигур их больше. Например, у квадрата их 4:
А у круга вообще бесконечное количество, потому что любая прямая, проходящая через центр круга, будет его осью симметрии.
Симметричную фигуру очень легко получить, согнув лист бумаги и вырезав половину фигуры. Развернув лист, получим фигуру, у которой линия сгиба — это ось симметрии.
А если сложить лист несколько раз и вырезать, то получится фигура, у которой несколько осей симметрии — каждая линия сгиба. Так, например, можно сделать красивые бумажные снежинки.
Проверить, является ли какая-нибудь прямая линия осью симметрии фигуры, очень легко: нужно поставить в вдоль этой линии зеркальце, одна часть фигуры отразится в нем, и мы увидим исходную фигуру.
2. Построение фигур, симметричных данным.
Теперь мы научимся строить отражения различных фигур или фигуры, симметричные данным.
Задача 1.
На картинке черным нарисована фигура, а красным — ось симметрии.
Нужно нарисовать симметричную фигуру, то есть «отражение» данной фигуры.
Решение.
Построим для двух точек их отражения. Они находятся с другой стороны зеркала на том же расстоянии, что и сами точки. Считаем, сколько клеток от точки до зеркала, откладываем столько же клеток от зеркала в другую сторону — получаем отражение точки:
Соединим эти два отражения точек — получим отражение отрезка.
Дальше так же, по точкам, строим отражения других отрезков.
Последняя точка находится прямо на зеркале, поэтому она сама и будет своим отражением.
Получили «отражение» фигуры. Оно изображено на рисунке синим цветом.
Ось симметрии может быть горизонтальной, вертикальной, а может быть наклонной.
Задача 2.
Построить отражение фигуры в наклонном «зеркале»:
Решение.
Строим по точкам отражение первого отрезка. Поскольку ось проходит по диагонали клеток, надо быть очень внимательным, измеряя расстояния. Теперь мы считаем, сколько клеток от точки до зеркала по диагонали, и откладываем столько же клеток с другой стороны зеркала.
Точно так же строим отражения остальных отрезков:
У нас получилось отражение фигуры в наклонном «зеркале» или фигура, симметричная исходной фигуре относительно наклонной оси. На рисунке симметричная фигура показана синим цветом.
3. Симметричные числа, слова и предложения.
Числа, слова и предложения, которые читаются одинаково слева направо и справа налево, называются палиндромами. Палиндромы обладают симметрией (в смысле прочтения) и имеют «ось» симметрии.
Например, 4, 22, 303, 7117, 123454321 — это числа-палиндромы.
В этих числах имеется центральная цифра или промежуток между цифрами, слева и справа от которых на одинаковом расстоянии находятся одинаковые цифры. Эта цифра (или промежуток между цифрами) и будет «осью» симметрии палиндрома.
Например, в числе 4 всего одна цифра, оно читается слева направо и справа налево одинаково, осевая цифра — 4, так как слева и справа от неё ничего нет.
В числе 123454321 осевая цифра 5, слева и справа от нее находятся четвёрки, затем тройки, затем двойки, затем единицы.
В числе 71|17 нет осевой цифры, «осью» является промежуток между цифрами 1 и 1.
Примеры слов-палиндромов: боб, дед, заказ, потоп, Ан|на, Ал|ла, летел.
Примеры предложений-палиндромов (при почтении пробелы и знаки препинания не учитываются):
- А роза упала на лапу Азора.
- Ты, Саша, сыт.
- Туши рано фонари, шут!
- Нажал кабан | на баклажан.
В словах-палиндромах и предложениях-палиндромах тоже есть «ось» симметрии: центральная буква или промежуток между двумя одинаковыми центральными буквами. В примерах они выделены жирным шрифтом.
Задача 3.
Закончите предложение так, чтобы получился палиндром:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ ……………………….
Решение.
В таких задачах подразумевается, что закончить предложение надо осмысленными словами (не абра-кадаброй) так, чтобы слева направо и справа налево предложение читалось одинаково.
Начнём с последней буквы — она должна быть такая же, как первая:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ ……………………М.
Предпоследняя буква — такая же, как вторая:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ …………………ОМ.
Продолжаем так до тех пор, пока предложение слева направо и справа налево не будет читаться одинаково. Можно проверять это после добавления каждой буквы.
В результате получим такое предложение:
МОЛОКО ДЕЛИЛИ ЛЕДОКОЛОМ.
4. Буквы и слова с осевой симметрией.
Так как каждая буква — это фигура, то она тоже может быть симметричной и иметь ось симметрии.
В русском алфавите 12 букв с вертикальной осью симметрии, 12 — с горизонтальной осью симметрии, причем 5 букв имеют обе эти оси:
Поэтому, если написать горизонтально слово буквами В, Е, Ж, З, К, Н, О, С, Ф, Х, Э, Ю, то получится слово, имеющее горизонтальную ось симметрии.
Если написать вертикально слово буквами А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш, то получится слово, имеющее вертикальную ось симметрии. А если написать этими буквами слово горизонтально, то, чтобы у него была вертикальная ось симметрии, нужно, чтобы оно было еще и палиндромом.
Задача 4.
Расшифруйте секретное послание:
Решение.
Знаки в послании очень напоминают половинки букв, отрезанные по оси симметрии.
Дорисовав зеркальные отражения половинок букв, получим:
