Геометрия.
На этом занятии мы будем решать задачи, связанные с построением, разрезанием, подсчетом геометрических фигур.
1. Подсчет фигур.
В задачах на подсчет фигур чаще всего требуется подсчитать количество треугольников, квадратов или прямоугольников на рисунке.
Прежде чем подсчитывать, нужно вспомнить, что же это за фигуры.
Треугольник — это фигура, у которой три вершины, и каждые две вершины соединены прямым отрезком.
Прямоугольник — это фигура, у которой четыре вершины, четыре стороны, все углы прямые. Удобнее всего рисовать прямоугольник на клетчатом листе.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Важно помнить, что любой квадрат является прямоугольником. Но можно нарисовать прямоугольник, который не является квадратом.
Подсчет фигур на рисунке.
В задачах такого типа требуется подсчитать количество определенных фигур на рисунке. Чтобы не запутаться и не упустить никакой фигуры, нужна не только внимательность, но и алгоритм (порядок) подсчета. Удобнее и проще всего считать так:
- Сначала сосчитать все фигуры, состоящие из одной части. То есть те, которые не разделены на другие фигуры никакими линиями. Назовем эти фигуры одинарными.
- Затем подсчитать фигуры, состоящие из двух частей, назовем их двойными.
- Затем подсчитать тройные, четверные фигуры и так далее по возрастанию частей.
- Затем сложить все полученные результаты.
Сложность при подсчете фигур, составленных из двух и более частей, состоит в том, что эти фигуры могут пересекаться друг с другом на рисунке. Чтобы сделать подсчет более наглядным, можно (и нужно) раскрашивать или заштриховывать найденные фигуры.
Задача 1.
Сколько треугольников на рисунке?
Решение.
Фигура на рисунке состоит из 6 частей, пронумеруем эти части для удобства.
Сначала подсчитаем, сколько на рисунке одинарных треугольников, то есть состоящих из одной части. Как видно из рисунка, каждая из маленьких частей, которые мы пронумеровали, является треугольником. Значит, на рисунке всего 6 ординарных треугольников:
Теперь подсчитаем двойные треугольники, то есть состоящие из двух маленьких частей. Нужно заметить, что не из любых двух частей можно составить треугольник. Например, фигура, состоящая из частей 3 и 5, треугольником не является. Все двойные треугольники показаны на рисунках, их всего 4:
Теперь подсчитаем тройные треугольники, их всего 2:
Четверных и пятерных треугольников на рисунке нет. Действительно, ни из каких 4 или 5 маленьких частей треугольник не получается.
И, наконец, считаем треугольники, состоящие из 6 маленьких частей. Это один большой треугольник, включающий в себя все пронумерованные части:
Результаты наших подсчетов:
- одинарных треугольников — 6
- двойных — 4
- тройных — 2
- из 4 частей — 0
- из 5 частей — 0
- из 6 частей — 1
Всего 6+4+2+1=13 треугольников на рисунке.
Ответ: 13 треугольников.
Задача 2.
Сколько квадратов и сколько прямоугольников на рисунке?
Решение.
Для удобства подсчета пронумеруем все одинарные части, из которых состоит фигура на рисунке.
Сначала посчитаем квадраты на рисунке:
- одинарных квадратов — 2 (это части 2 и 3)
- двойных — 0
- тройных — 0
- из 4 частей — 1 (это квадрат, составленный из частей 1, 2, 3, 4)
Всего 2+1=3 квадрата на рисунке.
Теперь подсчитаем прямоугольники на рисунке:
- одинарных прямоугольников — 4 (каждая из пронумерованных частей является прямоугольником, квадрат — это тоже прямоугольник)
- двойных — 4 (это прямоугольники из частей 1 и 2, 3 и 4, 1 и 3, 2 и 4)
- тройных — 0
- из 4 частей — 1 (прямоугольник из частей 1, 2, 3, 4)
Всего 4+4+1=9 прямоугольников на рисунке.
Ответ: 3 квадрата, 9 прямоугольников.
2. Разрезание фигур на части.
В задачах этого типа требуется разделить («разрезать») фигуру на другие, описанные в задаче, фигуры. Конечно, можно взять в руки ножницы и вырезать фигуры из бумаги. Но гораздо проще начертить фигуру на листе бумаги и «разрезать» понарошку: например, раскрасить нужные части в разные цвета или жирно выделить линии разреза.
При решении таких задач нужно внимательно читать условие. А условия могут быть разные:
- Как нужно делать разрез: по линиям сетки (если на фигуре уже нанесена сетка из вспомогательных линий) или как угодно?
- На какие фигурки нужно разрезать: на одинаковые или разные?
- «Зеркальные» фигурки (когда одна фигурка является зеркальным отражением другой) считаются одинаковыми или разными?
Задача 3.
На рисунке представлена фигура, состоящая из 6 клеточек. Разрежьте её на две одинаковые фигурки меньшего размера.
Решение.
В условии задачи ничего не сказано о том, как нужно делать разрез. Поэтому возможны варианты: можно резать по линиям сетки (то есть по сторонам клеточек) или не обращать внимания на сетку.
1) Получится ли разрезать фигуру на 2 одинаковых части, если резать по линиям сетки? Наша фигура состоит из 6 клеток. Если ее разрезать на 2 одинаковые части по линиям сетки, то каждая из получившихся частей будет состоять из 3 целых клеток. Фигурки из 3 клеток — это прямоугольник 1х3 или уголок:
На прямоугольники фигуру разрезать не получится, а на уголки получится:
2) Получится ли разрезать фигуру на 2 одинаковые части, если резать не по линиям сетки? Можно заметить, что наша фигура имеет ось симметрии. Если разрезать ее по оси симметрии, то получится две фигурки, являющиеся зеркальным отображением друг друга. Если в условии задачи не указано, что такие фигурки считаются разными, то можно считать их одинаковыми. И тогда получится еще одно решение задачи:
3. Разрезание фигур прямыми разрезами.
В этих задачах тоже нужно разрезать фигуру на части, но только прямолинейными разрезами. Это значит, что через фигуру нужно провести указанное количество прямых линий («разрезов»). Нужно иметь в виду, что прямолинейный разрез не может начаться или кончиться где-то в середине фигуры, разрез проходит через всю фигуру.
Интересно, что одним прямолинейным разрезом одни фигуры можно разрезать только на две части, а другие фигуры — на большее количество частей.
Задача 4.
На день рождения Васи испекли большой торт в виде цифры 7. Разрежьте торт двумя прямолинейными разрезами на 6 частей.
Решение.
Одним прямолинейным разрезом такой торт можно разрезать на 2 или на 3 части:
Если аналогично сделать еще один разрез, то получится 4 или 5 частей:
А если во втором случае провести разрезы так, чтобы они пересекались на торте, то получится 6 частей:
4. Построение фигур.
В задачах этого типа нужно построить фигуры, для которых в задаче заданы некоторые условия. Для удобства мы будем строить фигуры на клетчатом листе.
Задача 5.
У Кролика очень аккуратный огород, он размечен на квадраты со стороной 1 м. Кролик хочет огородить декоративным заборчиком грядку для посадки морковки размером в 4 квадрата. Декоративный заборчик продается отрезками длиной 1 м. Сколько отрезков заборчика потребуется Кролику? Какой формы лучше сделать морковную грядку, чтобы заборчик был наиболее коротким?
Решение.
Для клетчатого огорода Кролика нам нужно построить «проект» морковной грядки, состоящей из 4 квадратов. Какие это могут быть фигуры? Все они показаны на рисунке:
Конечно, есть и другие фигуры из 4 клеток, но они получаются из указанных либо поворотом, либо зеркальным отображением. В любом случае, заборы для других фигур будут иметь такую же длину, как и для показанных на рисунке.
Поскольку стороны квадратов на огороде кролика и отрезки заборчика имеют длину по 1 м, то по рисунку теперь нетрудно посчитать, сколько же отрезков заборчика нужно для каждой представленной грядки. Для грядок 1, 3, 4, 5 требуется по 10 отрезков заборчика, а для грядки 2 хватит 8 отрезков заборчика.
Ответ: Кролику потребуется 8 или 10 отрезков заборчика. Наиболее короткий заборчик будет у грядки в форме квадрата.