Плюс-минус один.
На этом занятии мы разберем задачи на подсчет предметов и промежутков между предметами. При неверном ходе рассуждений в таких задачах легко можно ошибиться на единицу. При решении таких задач очень помогают рисунки и схемы.
1. Предметы и промежутки между ними.
Можно заметить, что если предметы расположены в ряд, то промежутков между ними на один меньше, чем предметов. Если предметы расположены по кругу, то промежутков между ними ровно столько же, сколько самих предметов.
Задача 1.
Мама положила на стол 5 яблок в ряд, а Маша положила между каждыми двумя яблоками по груше. Сколько груш положила Маша?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Между 5-ю яблоками, расположенными в ряд, есть 4 промежутка, куда можно положить грушу:
Значит, Маша положила 4 груши.
Ответ: 4 груши.
Важное замечание.
Некоторые люди понимают выражение «между каждыми двумя яблоками» по другому, как показано на рисунке:
Это неверно, ведь в этом случае груши расположены НЕ между каждыми двумя яблоками: между 1-м и 2-м яблоками и между 3-м и 4-м яблоками груш нет.
Задача 2.
Папа положил на блюдо 5 яблок по кругу, а Ваня положил между каждыми двумя яблоками по груше. Сколько груш положил Ваня?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Между 5-ю яблоками, расположенными по кругу, есть 5 промежутков, куда можно положить грушу:
Значит, Ваня положил 5 груш.
Ответ: 5 груш.
Задача 3.
Катя собирала в лесу ягоды и нанизывала их на травинки так, чтобы между каждыми двумя ягодами черники была ягода земляники. Катя сделала 3 такие цепочки из ягод. Она пересчитала все ягодки черники в цепочках, и их оказалось 10. А сколько ягод земляники?
Решение.
1 способ.
Так как на травинке ягоды расположены в ряд, а землянички расположены между каждыми двумя черничками, то на одной травинке черничек на 1 больше, чем земляничек. На второй травинке тоже черничек на 1 больше, чем земляничек. И на третьей травинке так же.
Значит, в на трёх травинках вместе черничек на 1+1+1=3 больше, чем земляничек. Черничек Катя насчитала 10, тогда земляничек было 10-3=7.
2 способ.
Предположим, что Катя нанизала все ягоды на одну травинку. Если черничек 10, то земляничек на 1 меньше, то есть 9:
Но Катя сделала 3 цепочки. Как одну травинку превратить в три? Нужно убрать любые 2 землянички и разрезать травинку 2 раза:
Так как 2 землянички мы убрали, то осталось 9-2=7 земляничек на трёх травинках.
Ответ: 7 ягод земляники.
2. Распилы и разрезы.
В этих задачах нужно учитывать, является ли распиливаемый (разрезаемый) предмет прямым или замкнутым. Если предмет прямой (полоска бумаги, бревно, палка, лента), то количество частей будет на 1 больше, чем количество разрезов . Если предмет замкнутый (кольцо, бублик), то количество частей равно количеству разрезов.
Задача 4.
Несколько министров приехали на открытие новой школы, чтобы по традиции разрезать красную ленточку. Каждый министр сделал 1 разрез, и ленточка распалась на 8 частей. Сколько министров резало ленточку?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Лента прямая. Если ее разрезать, то ее части будут расположены в ряд. Каждый разрез — это промежуток между частями. Значит, разрезов будет на 1 меньше, чем частей:
Так как ленточка распалась на 8 частей, то разрезов было сделано 7. Каждый разрез делал один министр, значит, на открытии школы было 7 министров.
Ответ: 7 министров.
Задача 5.
Двое мышат нашли бублик и притащили его в норку. Чтобы поделиться со всеми братьями и сёстрами, они разрезали бублик пополам, затем каждую из получившихся частей разрезали еще по 2 раза. Сколько кусков бублика получилось?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Сначала мышата разрезали бублик пополам, и получилось 2 незамкнутых куска. Поэтому, если разрезать такой кусок 2 раза, то получится на 1 больше кусков, чем разрезов, то есть 3 куска. Из одной половинки бублика получится 3 куска и из другой половинки бублика получится 3 куска, а всего 6 кусков.
Ответ: 6 кусков.
Задача 6.
У Ани было несколько шоколадок. Она разломила их 7 раз и получила 12 кусочков. Сколько шоколадок было у Ани?
Решение.
Если Аня ломает любую из шоколадок 1 раз, то шоколадка распадается на 2 куска. И кусков становится на 1 больше, чем было до разлома.
Таким образом, каждый разлом увеличивает количество кусков на 1.
Если Аня сделала 7 разломов, то первоначальное количество кусков (а сначала все куски — это целые шоколадки) увеличилось на 7.
Так как после этого у Ани получилось 12 кусков, то изначально кусков было на 7 меньше, то есть 12-7=5.
Ответ: 5 шоколадок.
3. Что считаем – предметы или промежутки?
Для правильного решения задачи нужно понимать, что в каждом случае мы должны подсчитать – предметы или промежутки между ними.
Задача 7.
Если Карлсон съест 8 конфет, то он сможет взлететь с 1-го до 5-го этажа, а дальше топливо кончится. Сколько конфет достаточно съесть Карлсону, чтобы взлететь со 2-го до 4-го этажа?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Чтобы подняться с 1-го до 5-го этажа, Карлсону нужно пролететь расстояние с 1-го до 2-го этажа, затем такое же расстояние со 2-го этажа до 3-го, затем с 3-го до 4-го и с 4-го до 5-го. То есть на 4 одинаковых промежутка он тратит 8 конфет. Значит, на 1 такой промежуток он тратит 2 конфеты.
Чтобы подняться со 2-го до 4-го этажа, Карлсону нужно пролететь 2 таких промежутка. Значит, ему достаточно для этого 2+2=4 конфеты.
Ответ: 4 конфеты.
4. Количество последовательных чисел.
При решении этих задач часто вычитают из большего числа меньшее, что приводит к ошибке.
Задача 8.
С 10 по 20 августа в доме у Ивана Ивановича Архимеда отключали горячую воду. Сколько дней ему приходилось греть воду для ванны в кастрюльке?
Решение.
Очень часто такие задачи решают так: 20-10=10 дней. Но это неверное решение.
Если бы воду отключили с 1 по 20 августа, то это 20 дней. Но воду отключили 10 августа, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 августа (в сумме 9 дней) горячая вода у Архимеда еще была. Значит, из 20 дней августа нужно вычесть первые 9, получится 11 дней. Именно столько дней Архимеду приходилось греть воду в кастрюльке.
Ответ: 11 дней.