Кубики.
Почти все люди в детстве играют кубиками. Поэтому отличить куб (или кубик) от других фигур для большинства людей не составляет никакого труда. На этом занятии мы будем рассматривать кубики с точки зрения математики и решать задачи, связанные с кубиками.
1. Грани, рёбра, вершины. Видимые и невидимые.
Куб — это многогранник, он состоит из граней.
Грань — это плоская часть поверхности предмета. У куба все грани — квадраты.
Стороны квадратов, из которых состоит куб, называются сторонами или рёбрами куба. Каждое ребро куба — это граница двух граней.
Вершины куба — это точки, в которых сходятся рёбра куба. В каждой вершине куба сходится три ребра.
Возьмите в руки игрушечный кубик и найдите на нем все грани, рёбра и вершины. Сколько их?
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
На рисунке невозможно изобразить кубик так, чтобы он был виден со всех сторон.
Поэтому те грани, рёбра и вершины, которые мы видим на рисунке, называются видимые, а те, которые не видим, — невидимые.
Иногда невидимые ребра изображают пунктиром (как на рисунке выше).
Чаще всего кубик изображается двумя способами.
Посмотрите на рисунок. Сколько граней, рёбер и вершин куба являются видимыми на каждом изображении? А сколько невидимыми?
Видимые: 3 грани, 9 рёбер, 7 вершин.
Невидимые: 3 грани, 3 ребра, 1 вершина.
Бывают такие изображения кубика, что видимыми являются две или даже одна грань.
2. Башни из кубиков.
Из кубиков можно складывать, составлять и склеивать башни и другие фигуры. У новых фигур также будут грани, рёбра и вершины.
Но при объединении кубиков грани, рёбра и вершины тоже частично объединяются, потому посчитать их количество в новой фигуре не так-то просто.
Задача 1.
Из одинаковых кубиков склеили фигуру, как на рисунке.
Сколько у этой фигуры граней, ребер и вершин?
Решение.
Вспомним, что грань — это плоская часть поверхности фигуры. При склейке кубиков некоторые грани, ребра и вершины объединяются.
Таким образом, в этой фигуре уже не все грани являются квадратами. Получается такая фигура:
Если теперь внимательно посчитать, то получится, что у этой фигуры 10 граней (5 видимых на рисунке и 5 невидимых), 24 ребра (17 видимых и 7 невидимых) и 16 вершин (13 видимых и 3 невидимых).
Ответ: 10 граней, 24 ребра и 16 вершин.
На рисунках, изображающих башни и фигуры из кубиков, невидимыми могут быть не только грани, рёбра и вершины, но и целые кубики. Об их присутствии в фигуре мы можем лишь догадываться.
А иногда по одному рисунку невозможно подсчитать точно, сколько кубиков ушло на постройку фигуры. Для точного подсчета требуются дополнительные изображения этой фигуры: например, вид сверху или вид сбоку.
Задача 2.
Сколько кубиков ушло на постройку башни?
Решение.
На рисунке этой башни видно 8 кубиков. Все кубики второго этажа стоят на кубиках первого этажа. Поэтому, можно догадаться, что средний кубик второго этажа стоит на кубике первого этажа, хотя мы этот кубик под ним и не видим. Таким образом, на постройку башни ушло 8+1=9 кубиков.
Ответ: 9 кубиков.
Замечание. На самом деле, 9 кубиков — это минимальное количество кубиков в этой башне. Может случиться так, что в этой башне в первом этаже есть еще кубики, которые не видны из-за кубиков второго этажа. Поэтому для точного подсчета всех кубиков, необходимо посмотреть на эту башню, например, сзади или сверху. То есть требуется дополнительное изображение башни. Если дополнительных изображений башни нет, то считаем, что для её постройки использованы только те кубики, которые необходимы для её устойчивости.
Часто в задачах имеет значение не только количество кубиков в башне или фигуре, но их порядок.
Задача 3.
Маша построила башенку из кубиков, такую, как на рисунке. Потом пришла Машина младшая сестричка Даша и построила свою башню. Даша делала так: она взяла верхний кубик из Машиной башни и поставила его рядом на стол, затем брала из Машиной башни один из верхних кубиков и ставила в свою башню на предыдущий кубик. И так до тех пор, пока кубики из Машиной башни не закончились.
Какая башня из представленных на рисунке могла получиться у Даши?
Решение.
Поскольку Даша сначала берет красный кубик, то он окажется в самом низу Дашиной башни. Затем Даша берет один из верхних кубиков, то есть желтый и зеленый кубики из второго этажа Машиной башни, причем в любом порядке (они оба верхние). Но взять кубик из нижнего этажа Даша не может, пока не кончатся кубики во втором этаже. Затем, когда второй этаж Машиной башни разобран, Даша берет кубики из нижнего этажа в любом порядке.
Из представленных на рисунке башен указанной последовательности кубиков удовлетворяет только башня 4.
Ответ: башня 4.