Предметы и промежутки.
На этом занятии мы разберем задачи на подсчет предметов и промежутков между предметами, на подсчет количества последовательных чисел. При неверном ходе рассуждений в таких задачах легко можно ошибиться на единицу. Использование схем и рисунков очень упрощает понимание и решение таких задач.
1. Предметы и промежутки между ними.
Промежуток — это пространство, отделяющее один предмет от другого. Количество промежутков между предметами зависит от расположения самих предметов. Любые два предмета, разделённые промежутком, называются соседними.
Если предметы расположены в ряд (или по любой незамкнутой и не пересекающей себя линии), то промежутков между ними на один меньше, чем предметов. Действительно, в этом случае все предметы и промежутки можно разбить на пары «предмет+промежуток», кроме последнего предмета (после него нет промежутка):
Если предметы расположены по кругу (или по любой замкнутой и не пересекающей себя линии), то промежутков между ними ровно столько же, сколько самих предметов. Действительно, в этом случае все предметы и промежутки можно разбить на пары «предмет+промежуток»:
Если предметы расположены в ряд, что у первого и последнего предмета в ряду есть только по одному соседнему предмету, а у всех остальных — по два соседних. Если предметы расположены по кругу, то у каждого предмета есть два соседних с ним.
Замечание.
В задачах формулировка «между каждыми двумя соседними предметами» означает «в каждом промежутке». Иногда слово «соседними» опускается, но смысл остаётся тем же. Например, «между каждыми двумя кубиками в ряду добавили шарик»- это значит, что в каждый промежуток, разделяющий любые два соседние кубика, добавили по одному шарику.
Задача 1.
6 девочек встали в ряд, и между каждыми двумя девочками встал один мальчик. Сколько мальчиков в ряду?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Между 6 девочками, стоящими в ряд, есть 5 промежутков, куда можно поставить мальчика. Значит, в ряду будет 5 мальчиков.
Ответ: 5 мальчиков.
Задача 2.
6 девочек встали в круг, и между каждыми двумя девочками встал один мальчик. Сколько мальчиков в круге?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Между 6 девочками, стоящими в круг, есть 6 промежутков, куда можно поставить мальчика. Значит, в круге будет 6 мальчиков.
Ответ: 6 мальчиков.
2. Распилы и разрезы.
Задачи предыдущего занятия на распиливание и разрезание тоже можно рассматривать как предметы и промежутки: распилы — это промежутки, которые мы делаем между частями.
В этих задачах нужно учитывать, является ли распиливаемый (разрезаемый) предмет прямым или замкнутым. Если предмет прямой (полоска бумаги, бревно, палка, лента), то количество частей будет на 1 больше, чем количество разрезов. Если предмет замкрутый (кольцо, бублик), то количество частей равно количеству разрезов.
Задача 3.
2 бревна распилили на 7 частей. Сколько распилов сделали?
Решение.
Бревно — это незамкнутый предмет. Когда его распиливают, получаются части, «расположенные» в ряд и разделённые промежутками (распилами). Значит, распилов нужно сделать на 1 меньше, чем хотим получить частей.
Но по условию задачи распиливали 2 бревна. Эти 2 бревна мы тоже можем расположить в ряд. При этом получается, что 1 промежуток (между бревнами) уже сделан.
Так как промежутков на 1 меньше, чем частей, то чтобы получить 7 частей, нужно сделать 6 промежутков. 1 промежуток уже есть, значит, нужно сделать еще 5 промежутков, то есть распилов. Например, так:
Ответ: 5 распилов.
Задача 4.
Мама испекла пирог в форме кольца и разрезала его на части пятью разрезами. Сколько кусков пирога получилось?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Поскольку пирог в виде кольца, то получилось несколько кусков, расположенных по кругу. Количество разрезов – это количество «промежутков» между кусками, и оно равно количеству самих кусков. Значит, получилось 5 кусков пирога.
Ответ: 5 кусков.
3. Что считаем – предметы или промежутки?
Для правильного решения задачи нужно понимать, что в каждом случае мы должны подсчитать – предметы или промежутки между ними.
Задача 5.
Кролик сделал изгородь для своего огорода. Он вкопал 5 столбиков в ряд, и между каждыми двумя столбиками приколотил по 2 дощечки. Сколько дощечек понадобилось Кролику?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Между 5 столбиками, расположенными в ряд, всего 4 промежутка. На каждый промежуток ушло по 2 дощечки. Значит, на всю изгородь ушло 2+2+2+2=8 дощечек.
Ответ: 8 дощечек.
4. Количество последовательных чисел.
При решении этих задач часто вычитают из большего числа меньшее, что приводит к ошибке.
Задача 6.
Матвей гостил у бабушки в деревне с 10 по 20 июня. Сколько дней Матвей был у бабушки?
Решение.
Очень часто такие задачи решают так: 20-10=10 дней. Но это неверное решение.
Посмотрим на календарь. Если бы Матвей гостил у бабушки с 1 по 20 июня, то это 20 дней. Но Матвей гостил у бабушки с 10 июня, то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 июня (в сумме 9 дней) он еще был в городе. Значит, из 20 дней июня нужно вычесть первые 9, получится 11 дней. Матвей гостил у бабушки 11 дней.
Ответ: 11 дней.