Распилы и разрезы.
В задачах этой темы речь идёт о распиливании, разрезании, раскалывании предметов на несколько частей. Нужно узнать:
- сколько получится частей, если сделать указанное количество разрезов (распилов, раскалываний),
- сколько распилов (разрезов, раскалываний) нужно сделать, чтобы получить из начального количества предметов указанное количество частей.
- сколько было целых предметов, если после указанного количества разрезов (распилов, раскалываний) получилось указанное количество частей.
Часто эти задачи рассматривают как пошаговый процесс, на каждом шаге которого происходит одно и тоже изменение количества частей. Разберём несколько задач.
1. Распиливание (разрезание) незамкнутых предметов.
Задача 1.
Бобры распилили бревно, сделав 6 распилов. Сколько получилось чурбаков?
Решение.
Рассмотрим процесс распиливания бревна по шагам.
После первого распила из 1 части (целого бревна) получится 2 части, то есть количество частей увеличится на 1:
После второго распила из одной из имеющихся частей снова получится 2, то есть количество частей снова увеличится на 1, и станет 3 части:
Таким образом, с каждым распилом количество частей бревна увеличивается на 1. Значит, после 6 распилов количество первоначальных частей увеличится на 6. А так как изначально у бобров была всего 1 часть (целое бревно), то после 6 распилов у них будет 1+6=7 чурбаков.
Ответ: 7 чурбаков.
Рассмотрим две обратные задачи.
Задача 2.
Бобры распилили 2 бревна и получили 9 чурбаков. Сколько распилов они сделали?
Решение.
При решении задачи 1 мы выяснили, что каждый распил увеличивает количество частей бревна на 1.
Если сначала было 2 части (2 бревна), а в конце получили 9 частей, то количество частей увеличилось на 9-2=7. Значит, было сделано 7 распилов.
Ответ: 7 распилов.
Задача 3.
Бобры распилили несколько брёвен и получили 10 чурбаков. Сколько брёвен у них было вначале, если всего было сделано 6 распилов?
Решение.
Так как было сделано 6 распилов, а каждый распил увеличивает количество чурбаков на 1, то первоначальное количество частей (целых бревен) увеличилось на 6.
Если первоначальное количество частей увеличили на 6 и получили 10, то вначале было 10-6=4 части, то есть 4 целых бревна.
Ответ: 4 бревна.
Так же мы рассуждаем и в том случае, если на каждом шаге количество частей увеличивается больше, чем на 1. Рассмотрим задачу.
Задача 4.
Утром лужа около дома покрылась льдом. Малыш Ваня одним ударом ноги может расколоть любой кусок льда на 3 части. Ваня несколько раз ударил ногой, и льдина, покрывавшая лужу, превратилась в 9 льдинок. Сколько раз Ваня ударил ногой по льду?
Решение.
После первого удара Вани одна льдина, покрывавшая лужу, раскололась на 3 части. Так как из 1 части получилось 3, то количество частей льда увеличилось на 3-1=2.
После второго удара еще 1 кусок льда превратился в 3, то есть количество частей снова увеличилось на 3-1=2. И после каждого следующего удара количество кусков льда увеличивалось на 2.
Если сначала был один кусок льда, а в конце стало 9, то количество кусков увеличилось на 9-1=8. Так как за каждый удар количество кусков увеличивалось на 2, а 8 — это 4 раза по 2, то всего Ваней было сделано 4 удара.
Ответ: 4 удара.
2. Распиливание (разрезание) замкнутых предметов.
В случае разрезания замкнутых предметов (кольца из бумаги или верёвки, бублика и т. д.) процесс немного отличается от предыдущих.
Задача 5.
Ковбой Билл решил усовершенствовать своё лассо. Для этого ему нужно 6 небольших кусков веревки. Он решил использовать для этого ненужное верёвочное кольцо. Сколько разрезов нужно сделать Биллу, чтобы кольцо распалось на 6 частей?
Решение.
В этом случае после первого разреза количество кусков не увеличивается, но при этом размыкается кольцо.
А далее нужно разрезать незамкнутую верёвку на 6 частей. Так как каждый разрез увеличивается количество частей на 1, то нужно сделать еще 6-1=5 разрезов.
Таким образом, чтобы разрезать верёвочное кольцо на 6 частей, Биллу нужно сделать 1+5=6 разрезов.
Ответ: 6 разрезов.
3. Распиливание (разрезание) нескольких предметов одновременно.
В предыдущих задачах на каждом шаге распиливали (разрезали, раскалывали) только одну часть. Но в некоторых задачах разрезать можно одновременно несколько частей. Обычно это указано в условии задачи (если не указано, то подразумевается, что каждый раз разрезают только одну часть).
Задача 6.
Сеня нашёл на улице 4 палочки и решил сделать из них красивые поделки. Для этого ему нужно разломать палочки помельче. Сеня — сильный мальчик, и может за один раз разломить любой пучок палочек пополам. Сколько кусочков палочек у него получится после 2 разломов, если он каждый раз собирает в пучок и ломает все имеющиеся у него палочки?
Решение.
Если Сеня разломит пучок из 4 палочек пополам, то получит 4+4=8 кусочков, так как из каждой палочки получается 2 кусочка:
Теперь, если Сеня соберёт все 8 палочек в пучок и разломит его пополам, то в результате получится 8+8=16 кусочков.
Ответ: 16 кусочков.
4. Другие типы увеличения количества частей.
Рассуждая так же, как в предыдущих задачах, можно решить и другие задачи, в которых идёт речь об одинаковом увеличении количества частей на каждом шаге, но при этом ничего не режут и не распиливают.
Задача 7.
Чтобы в одну розетку включить несколько электроприборов, используют тройник. Тройники могут выглядеть по разному, например, как на рисунке. Тройник можно включать не только в розетку, но и в другой тройник. Какое наибольшее количество утюгов можно включить одновременно, имея 2 розетки и 3 тройника?
Решение.
При включении тройника в розетку, количество свободных розеток увеличивается на 2, так как из 1 розетки получается 3. Значит, 3 тройника увеличивают количество розеток на 2+2+2=6.
Если есть 2 розетки, то подключая 3 тройника, мы увеличим количество розеток на 6, и их станет 2+6=8. В 8 свободных розеток можно включить одновременно 8 утюгов.
Ответ: 8 утюгов.