Множества-2.
На этом занятии мы продолжаем предыдущую тему «Множества». Рассмотрим еще несколько способов решения задач.
1. Рисуем элементы множеств.
Если в задачах рассматриваются множества с небольшим количеством элементов, то при решении бывает очень удобно нарисовать схемы всех элементов множества.
Задача 1.
В магазине продавалось 8 мячей, и на каждом из них была синяя или зелёная полоса. Синие полосы были на 6 мячах, зелёные полосы — на 5 мячах. Сколько было мячей с синей и зелёной полосой одновременно?
Решение.
Изобразим схематично все 8 мячей:
Отметим 6 мячей с синими полосами:
Теперь нарисуем зелёные полосы, причём начнем рисовать с мячей без полос, потому что какая-то полоса, по условию задачи, должна быть на каждом мяче:
Из рисунка видно, что было всего 3 мяча с синей и зелёной полосой одновременно.
Ответ: 3 мяча.
Задача 2.
В группе детского сада 10 детей. 5 детей любят манную кашу, 5 — овсяную, при этом 4 ребенка любят обе эти каши. Сколько детей не любят ни манную, ни овсяную кашу?
Решение.
Нарисуем схематично всех детей группы, их 10:
Буквой М отметим тех, кто любит манную кашу, их 5:
Теперь отметим буквой О любителей овсяной каши. Их тоже 5, причем 4 из них любят и манную кашу тоже:
Как видно из схемы, детей, которые не любят ни манную, ни овсяную кашу, — 4 человека.
Ответ: 4 детей.
2. Рисуем множества в виде кругов.
На предыдущем занятии мы познакомились с этим способом изображения множеств. Вспомним одну из таких схем:
Давайте сосчитаем, сколько фигур поместилось в двух кругах: их 9.
Но при этом в первом домике («маленькие фигуры») находится 6 фигур, и во втором домике («синие фигуры») тоже 6 фигур.
То есть, если сложить фигуры в первом домике и фигуры во втором домике, получим 12 фигур. Как же так получается, если фигур всего 9? Откуда взялись лишние 3 фигуры?
Все просто! когда мы складывали фигуры из двух домиков, то дважды посчитали те фигурки, которые живут в общей «комнате». Мы их посчитали и как элементы первого множества, и как элементы второго множества. Этих общих фигур всего 3, они и есть посчитанные лишний раз.
Важное правило, которым мы будем пользоваться при решении задач:
Допустим, что есть два множества.
В первом множестве — А элементов, во втором множестве — Б элементов.
А всего в этих двух множествах вместе — В элементов.
Если получилось так, что А + Б > В, значит, есть несколько общих элементов, которые входят и в первое множество, и во второе.
И этих общих элементов ровно столько, на сколько А + Б больше, чем В.
Учитывая это, задачу 1 мы можем решить так:
- Сложим мячи с синими полосками и мячи с зелёными полосками: 6+5=11.
- 11>8, значит, несколько мячей мы посчитали дважды, а именно те мячи, у которых есть и синяя, и зелёная полоски. Этих мячей всего 11-8=3.
Задача 3.
В магазине продавались мячи, и на каждом из них были красные или жёлтые звёзды. На 12 мячах были красные звёзды, на 15 мячах — жёлтые, на 7 мячах — и красные, и жёлтые. Сколько всего было мячей? А сколько было мячей только с жёлтыми звёздами? А только с красными?
Решение.
Нарисуем два круга: домик для мячей с красными звёздами и домик для мячей с жёлтыми звёздами:
По условию задачи, в области пересечениях этих кругов находится 7 мячей:
В первом круге всего 12 мячей, 7 из них мы уже внесли в общую область, значит, в первом круге, но не в общей области находится 12-7=5 мячей. Во втором круге всего 15 мячей, 7 из них мы уже внесли в общую область, значит, во втором круге, но не в общей области находится 15-7=8 мячей.
Теперь мы можем сосчитать общее количество мячей: 5+7+8=20.
И, как видим по схеме, мячей только с красными звёздами было 5, только с жёлтыми — 8.
Ответ: всего было 20 мячей, только с красными звёздами — 5 мячей, только с жёлтыми звёздами — 8 мячей.