Множества-2.
Основные понятия и приёмы решения задач по теме «Множества» были рассмотрены на предыдущем занятии. Рекомендуем повторить.
На этом занятии мы рассмотрим еще несколько задач, при решении которых будем использовать круги-домики — схемы для изображения множеств.
Задача 1.
Группа детей из детского сада отправилась на праздник. Всего в группе было 10 детей, и все несли шарики или флажки. 9 детей несли воздушные шары, 6 — красочные флажки. Сколько детей было и с шариками, и с флажками?
Решение.
Попробуем решить эту задачу графически, с помощью схемы.
Изобразим множества детей с шариками и детей с флажками:
Обозначим детей точками. Нам нужно расставить в круги 10 точек так, чтобы в первом круге было 9 точек, а во втором — 6 точек.
Поставим 9 точек в первый круг, как показано на рисунке. Тогда во второй круг мы можем поставить только 1 точку:
Если мы передвинем 1 точку из первого круга в область пересечения кругов, то количество точек в первом круге не изменится (так и останется 9), а во втором круге — увеличится на 1. А чтобы во втором круге стало 6 точек, нужно в область пересечения кругов передвинуть 5 точек:
Таким образом, выполнены условия задачи, и мы видим, что детей, которые несли и шарики, и флажки, было 5:
Ответ: 5 детей.
Задача 2.
12 путешественников из клуба «Первопроходец» зимой побывали в странах Южной Америки: в Аргентине и Бразилии. Причём в Аргентине побывало больше человек, чем в Бразилии, а в обеих странах побывали 4 путешественника. Какое наименьшее количество путешественников могло побывать в Аргентине?
Решение.
Нарисуем три круга — множества путешественников, побывавших в Аргентине и побывавших в Бразилии:
Нужно расставить 12 путешественников по кругам так, чтобы в области пересечения кругов было 4 путешественника, а в первом круге как можно меньше путешественников.
Поставим сначала 4 точки в область пересечения кругов, а остальные 8 точек — во второй круг:
В этом случае количество путешественников, побывавших в Аргентине, самое маленькое из возможных. Но при этом не выполняется условие задачи, что в Аргентине побывало больше человек, чем в Бразилии.
Передвинем 1 точку из второго круга в первый. Перемещать мы можем только в жёлтую область, так как в область пересечения кругов мы все нужные точки уже поставили. В результате количество точек в перво круге увеличится на 1, а во втором круге уменьшится на 1:
Когда мы переместим 4 точки, количество точек в обоих кругах сравняется:
А чтобы в первом круге точек стало больше, чем во втором, переместим еще одну точку:
Таким образом, мы получим наименьшее количество точек в первом круге, при котором выполнены все условия задачи. Наименьшее количество путешественников, побывавших в Аргентине, равно 9.
Ответ: 9 путешественников.