Множества.
1. Что такое множество?
В математике для обозначения любого набора объектов придумано универсальное слово – множество. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.
Как можно описать множество?
- Можно перечислить элементы множества.
Например, множество, состоящее из солнца, травы, домика и кошки. - Но иногда элементов слишком много, чтобы их можно было перечислить. Тогда мы можем просто назвать общий признак, который описывает элементы именно этого множества.
Например, множество звезд нашей Галактики, или множество людей на Земле, или множество всех квадратов, или множество целых чисел.
Чаще всего в задачах требуется узнать количество элементов какого-нибудь множества.
Нужно заметить, что в множестве не всегда бывает много элементов. Множество может состоять из любого количества элементов, даже из 1 или 0. Например, множество летающих пингвинов состоит из 0 элементов. Такое множество называется пустым множеством.
Множество может состоять и из бесконечного количества элементов. Например, множество всех чисел — это бесконечное множество.
2. Изображение множеств с помощью кругов.
Если в множестве много элементов, то нарисовать все их довольно трудно.
В этом случае множества удобно изображать в виде кругов-домиков, где «живут» все элементы множества. Рассмотрим такой набор фигур:
Разделим все фигуры на 2 множества: множество жёлтых фигур и множество синих фигур. Для этого нарисуем два круга-домика и поместим в них фигуры:
Упражнение.
Самостоятельно разделите этот набор фигур:
- на множество больших фигур и множество маленьких фигур,
- на множество фигур с углами и множество фигур без углов.
Можно заметить, что у нас получилось распределить все фигуры по разным домикам. То есть каждая фигурка у нас оказалась элементом какого-то одного множества.
Но бывает так, что один и тот же объект принадлежит двум (и даже больше) множествам.
Попробуем фигуры из нашего набора распределить по домикам так: в один домик — все маленькие фигуры, в другой домик — все синие фигуры.
Во-первых, оказывается, что большие жёлтые фигуры не попадают ни в один из этих домиков.
Во-вторых, возникает вопрос: что делать с маленькими синими фигурами, ведь они должны быть одновременно в двух домиках?
Чтобы изобразить это на схеме, «сдвигаем» домики так, чтобы они пересекались и имели общую «комнату» — область, куда мы помещаем маленькие синие фигуры:
Получается, что маленькие синие фигуры являются одновременно элементами двух множеств: множества маленьких фигур и множества синих фигур. Про эти два множества можно сказать, что они пересекаются.
А вот большие жёлтые фигуры не являются элементами ни одного из этих множеств, поэтому остались за пределами домиков.
3. Решение задач с помощью кругов.
Рассмотрим несколько задач, при решении которых будем использовать круги-домики — схемы для изображения множеств.
Задача 1.
Группа детей из детского сада отправилась на праздник. Всего в группе было 10 детей, и все несли шарики или флажки. 9 детей несли воздушные шары, 6 — красочные флажки. Сколько детей было и с шариками, и с флажками?
Решение.
Попробуем решить эту задачу графически, с помощью схемы.
Изобразим множества детей с шариками и детей с флажками:
Обозначим детей точками. Нам нужно расставить в круги 10 точек так, чтобы в первом круге было 9 точек, а во втором — 6 точек.
Поставим 9 точек в первый круг, как показано на рисунке. Тогда во второй круг мы можем поставить только 1 точку:
Если мы передвинем 1 точку из первого круга в область пересечения кругов, то количество точек в первом круге не изменится (так и останется 9), а во втором круге — увеличится на 1. А чтобы во втором круге стало 6 точек, нужно в область пересечения кругов передвинуть 5 точек:
Таким образом, выполнены условия задачи, и мы видим, что детей, которые несли и шарики, и флажки, было 5:
Ответ: 5 детей.
Задача 2.
12 путешественников из клуба «Первопроходец» зимой побывали в странах Южной Америки: в Аргентине и Бразилии. Причём в Аргентине побывало больше человек, чем в Бразилии, а в обеих странах побывали 4 путешественника. Какое наименьшее количество путешественников могло побывать в Аргентине?
Решение.
Нарисуем три круга — множества путешественников, побывавших в Аргентине и побывавших в Бразилии:
Нужно расставить 12 путешественников по кругам так, чтобы в области пересечения кругов было 4 путешественника, а в первом круге как можно меньше путешественников.
Поставим сначала 4 точки в область пересечения кругов, а остальные 8 точек — во второй круг:
В этом случае количество путешественников, побывавших в Аргентине, самое маленькое из возможных. Но при этом не выполняется условие задачи, что в Аргентине побывало больше человек, чем в Бразилии.
Передвинем 1 точку из второго круга в первый. Перемещать мы можем только в жёлтую область, так как в область пересечения кругов мы все нужные точки уже поставили. В результате количество точек в первом круге увеличится на 1, а во втором круге уменьшится на 1:
Когда мы переместим 4 точки, количество точек в обоих кругах сравняется:
А чтобы в первом круге точек стало больше, чем во втором, переместим еще одну точку:
Таким образом, мы получим наименьшее количество точек в первом круге, при котором выполнены все условия задачи. Наименьшее количество путешественников, побывавших в Аргентине, равно 9.
Ответ: 9 путешественников.