Взвешивания.
Как решать задачи на взвешивание, мы уже разбирали на занятии 9. Сегодня мы вернемся к этой теме, вспомним основные правила решения и разберем новые задачи.
1. Какие весы используются в задачах на взвешивание?
В современной жизни используются в основном электронные весы, у которых одна чаша или платформа, куда помещается груз. Такие весы показывают вес груза в числовом выражении.
В задачах на взвешивание используются другие весы — с двумя чашами. Чаши могут быть подвешены к концам перекладины (коромысла) или прикреплены сверху перекладины:
В обе чаши можно положить грузы. Если грузы в обеих чашах весят одинаково, то чаши весов будут находиться на одном уровне (в равновесии). Если же груз в одной чаше тяжелее груза в другой чаше, то первая чаша опустится ниже второй (перевесит).
Чтобы узнать, сколько весит груз, нужно его положить на одну чашу весов, а на вторую поставить гири с известным весом так, чтобы весы оказались в равновесии. Тогда вес груза будет равен суммарному весу гирь.
Если сейчас такие весы встречаются достаточно редко, то почти на каждой детской площадке есть качели-балансиры, которые действуют по такому же принципу, что и чашечные весы:
2. Основные правила взвешивания.
В задачах на взвешивание обычно считается, что все предметы, которые одинаково называются или одинаково изображены на рисунке, весят тоже одинаково. Если это не так, то в условии задачи это специально указывается или становится ясно при решении задачи.
Вспомним основные правила взвешивания:
1. Если первый предмет тяжелее второго, а второй тяжелее третьего, то первый предмет тяжелее третьего.
2. Если добавить на обе чаши или убрать с обеих чаш одинаковые по весу предметы, то положение весов не изменится.
3. Если два (или несколько) предмета равны по весу, то мы можем заменить один на другой, и положение весов не поменяется.
Задача 1.
Два арбуза весят столько, сколько половина арбуза и еще 9 кг. Сколько весит один арбуз?
Решение.
Изобразим условие задачи на рисунке с весами:
Если мысленно разделить каждый арбуз на левой чаше весов пополам, то получим 4 половины арбуза:
Теперь уберем с каждой чаши весов одинаковый вес (по 1 половине арбуза). Положение весов не изменится:
Значит, 3 половины арбуза весят 9 кг. Тогда 1 половина арбуза весит 3 кг:
Если половина арбуза весит 3 кг, то целый арбуз весит 6 кг.
Ответ: 6 кг.
3. Взвешивать можно не только вес.
Если вам понятны картинки с весами и правила взвешивания, то можно применить эти правила и в других задачах. Для этого можно предположить, что у нас есть «волшебные» весы, которые измеряют не вес предметов, а, например, их стоимость, длительность, расстояние, скорость, количество и так далее. Рассмотрим пример задачи.
Задача 2.
Груша стоит столько же, сколько 2 яблока. Что дешевле — 7 яблок или 3 груши?
Решение.
Предположим, что у нас есть чашечные весы, измеряющие стоимость грузов: чашу весов перевешивает тот груз, который стоит дороже. Изобразим условие задачи на рисунке:
Добавим теперь на левую чашу весов 2 груши, а на правую — 4 яблока. Поскольку мы добавим одинаковые по стоимости грузы на обе чаши, весы останутся в равновесии:
Если теперь на правую чашу весов мы добавим еще 1 яблоко, то правая чаша перевесит:
Значит, 3 груши стоят дешевле, чем 7 яблок.
Ответ: 3 груши.
4. Порядок взвешивания (поиск фальшивых монет).
В предыдущих задачах требовалось ответить на вопросы «Что тяжелее?», «Что легче?», «Сколько весит?». Но есть другой тип задач, в котором надо ответить на вопрос «Что и как взвесить?».
Чаще всего, это задачи о поиске фальшивых монет среди настоящих. Известно, что все монеты одинаковы по виду, но фальшивые чуть легче или чуть тяжелее настоящих. Разница в весе настолько мала, что определить ее можно только в помощью весов. В таких задачах требуется придумать алгоритм или порядок взвешиваний монет, чтобы найти фальшивые монеты как можно быстрее, за наименьшее число взвешиваний.
Задача 3.
Старик Хоттабыч наколдовал 3 монеты. Правда, настоящими оказались только две из них, а одна — фальшивая. Фальшивая монета легче настоящей, но никак не отличается от нее по внешнему виду. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?
Решение.
Если бы Хоттабыч наколдовал только 2 монеты, то задача решалась бы очень легко: на одну чашу весов нужно было бы положить одну монету, на вторую — другую монету. На той чаше, которая перевесила, лежала бы настоящая монета, а на той, которая оказалась легче, — фальшивая.
Но в этой задаче 3 монеты. На первый взгляд кажется, что результатом одного взвешивания мы ничего не добьемся.
Если мы положим на одну чашу весов 2 монеты, а на другую — 1 монету, то это взвешивание не даст никакой информации о том, на какой чаше лежит фальшивая монета. Ведь две монеты в любом случае перевесят одну, будь она хоть фальшивая, хоть настоящая.
Значит, нужно на чаши весов класть одинаковое количество монет. Поэтому положим на чаши весов по одной монете, а третью отложим в сторону, она во взвешивании участвовать не будет. Сможем ли мы за одно это взвешивание определить, какая из монет фальшивая? Хорошо, если повезет, и фальшивую монету мы положим на одну из чаш весов. Тогда другая чаша перевесит, и более легкая монета будет искомой фальшивой. А если весы окажутся в равновесии? Тогда это значит, что обе монеты на весах одного веса, и это могут быть только настоящие монеты (так как фальшивая только одна). А фальшивая монета — та, которую мы отложили в сторону.
Изобразим приведенные выше рассуждения в виде схемы. Пронумеруем монеты:
Теперь возьмем любые две монеты (пусть 1 и 2) и положим их на чаши весов. Возможны три результата взвешивания:
В случае а фальшивой будет монета 1, в случае б — монета 2, в случае в — монета 3.
Ответ: Нужно положить на чаши весов по 1 монете. Если одна из монет перевесила, то вторая монета на весах — фальшивая. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета — та, которая во взвешивании не участвовала.
Задача 4.
Старик Хоттабыч наколдовал 4 монеты. Правда, настоящими оказались только 3 из них, а одна — фальшивая. Фальшивая монета легче настоящей, но никак не отличается от нее по внешнему виду. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?
Решение.
Пронумеруем монеты для удобства рассуждений:
Нужно заметить, что одним взвешиванием в этом случае уже не обойтись.
Действительно, если мы положим на чаши весов по 1 монете (например, монеты 1 и 2), и весы при этом окажутся в равновесии, то фальшивой будет либо монета 3, либо монета 4. И чтобы выяснить, какая из них легче, нужно будет провести еще одно взвешивание.
Если же мы положим на чаши весов по 2 монеты (например, на одну чашу — монеты 1 и 2, а на другую — монеты 3 и 4), то фальшивая монета будет среди тех двух монет, чаша с которыми окажется легче. И снова потребуется второе взвешивание, чтобы определить, какая из этих монет легче.
Для решения этой задачи подойдут оба варианта взвешивания.
Вариант 1.
1 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 1, на вторую — монету 2.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 2;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 1;
- если весы в равновесии, то фальшивая монета 3 или 4, нужно провести еще одно взвешивание.
2 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 3, на вторую — монету 4.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 4;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 3;
- равновесия в этом случае быть не может, так как известно, что фальшивая монета все-таки есть и только одна.
Вариант 2.
1 взвешивание: на первую чашу весов кладем монеты 1 и 2, на вторую — монеты 3 и 4. Одна из чаш перевесит, так как на одной из чаш лежит фальшивая монета.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 3 или 4, нужно провести еще одно взвешивание;
2 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 3, на вторую — монету 4.- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 4;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 3;
- равновесия в этом случае быть не может, так как известно, что фальшивая монета все-таки есть и только одна.
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 1 или 2, нужно провести еще одно взвешивание;
2 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 3, на вторую — монету 4.- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 4;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 3;
- равновесия в этом случае быть не может, так как известно, что фальшивая монета все-таки есть и только одна.
5. Минимальное число взвешиваний.
В задачах 3 и 4 требовалось найти порядок взвешивания монет для заданного числа этих взвешиваний. Если монет немного, то алгоритмы взвешивания находятся довольно легко. А если монет сотни или тысячи? За какое минимальное число взвешивания можно выявить среди них фальшивую монету?
Пример.
Среди 18 монет есть одна фальшивая, которая легче настоящих. За сколько взвешиваний можно найти фальшивую монету?
Решение.
Пронумеруем монеты для удобства решения:
Предположим, что фальшивая монета — это монета под номером 18. Но мы этого не знаем, поэтому взвешиваем все монеты по порядку.
а) Можно при каждом взвешивании класть на каждую чашу весов по 1 монете (сначала 1 и 2, затем 3 и 4 и т. д.). В этом случае потребуется 9 взвешиваний, чтобы найти фальшивую монету.
б) Можно при каждом взвешивании класть на каждую чашу весов по 2 монеты. В этом случае потребуется 5 взвешиваний, чтобы найти фальшивую монету.
в) Можно при каждом взвешивании класть на каждую чашу весов по 3 монеты. В этом случае потребуется 4 взвешивания, чтобы найти фальшивую монету.
г) Можно при первом и втором взвешивании положить на чаши весов по 4 монеты, при третьем взвешивании — по 1 монете. В этом случае потребуется 3 взвешивания.
д) Можно при первом взвешивании положить на каждую чашу весов по 9 монет, при этом одна чаша будет легче. При втором взвешивании можно положить на каждую чашу весов по 3 монеты с предыдущей легкой чаши и 3 монеты отложить в сторону, при этом выяснится, среди каких из этих 3 монет находится фальшивая. Потребуется еще одно взвешивание, чтобы ее найти. Всего в этом случае потребуется 3 взвешивания.
е) Можно рассмотреть еще много вариантов раскладывания монет на весы, но потребуется не менее 3 взвешиваний, чтобы найти фальшивую монету.
То есть в этом примере минимальное число взвешиваний, за которое можно найти фальшивую монету, равно 3.
Как же все-таки нужно действовать, чтобы отыскать фальшивую монету за минимальное число взвешиваний?
Обратим внимание на то, что при каждом взвешивании мы можем разделить все монеты на три части: одну часть положить на первую чашу весов, вторую часть — на вторую чашу, третью часть — отложить в сторону и не взвешивать. По результатам взвешивания мы можем определить ту часть подозрительных монет (ПМ), среди которых находится фальшивая монета (ФМ).
Действительно, если перевесит первая чаша весов, то ФМ находится во второй части монет. Если перевесит вторая чаша весов, то ФМ находится в первой части монет. Если весы будут в равновесии, то ФМ находится в третьей части монет.
То есть, чтобы провести как можно меньше взвешиваний, хорошо бы разделить все монеты на три части так, чтобы подозрительных монет при каждом взвешивании оставалось как можно меньше. А поскольку ФМ может оказаться в любой из частей, то выгоднее всего делить множество монет при каждом взвешивании на 3 равные части: две из них взвешивать, а третью отложить. Если количество монет не делится нацело на 3, то поделить как можно ближе к этому, чтобы при этом оказалось 2 равные части монет (потому что взвешиваем мы только равные по количеству части) и одна часть чуть больше или чуть меньше.
Именно при таком подходе получается минимальное количество взвешиваний. Но это не исключает того, что возможны и другие алгоритмы, находящие фальшивую монету за такое же число взвешиваний.
Задача 5.
У Васи есть 20 стеклянных шариков. Все шарики одинаковые по размеру и весу, кроме одного шарика, который чуть тяжелее остальных. Дедушка отдал Васе старинные весы с подвесными чашами, которые, впрочем, отлично работают. За какое наименьшее число взвешиваний Вася сможет «вычислить» тяжелый шарик?
Решение.
Будем действовать по приведенному выше принципу. Сначала у нас все 20 шариков подозрительные (то есть среди них находится тяжелый шарик). Разделим все шарики на 3 равные (или близкие к равным) части: 6 шариков, 6 шариков и 8 шариков.
| 1 взвешивание: на чашах весов по 6 шариков, 8 шариков во взвешивании не участвуют. Возможны два результата взвешивания: | |
| Если одна из чаш весов перевесила, то среди 6 шариков, находящихся на ней, находится и искомый тяжелый шарик. Теперь у нас 6 подозрительных шариков. Делим их на 3 равные части: 2 шарика, 2 шарика, 2 шарика. |
Если весы в равновесии, то тяжелый шарик находится среди 8 отложенных шариков, а на весах все шарики одинакового веса. Теперь у нас 8 подозрительных шариков. Мы можем добавить к ним 1 настоящий шарик с весов, чтобы удобно было разделить подозрительные шарики на 3 равные части: 3 шарика, 3 шарика, 3 шарика. |
2 взвешивание: на чашах по 2 шарика и 2 шарика во взвешивании не участвуют.
Теперь у нас 2 подозрительных шарика. |
2 взвешивание: на чашах по 3 шарика и 3 шарика во взвешивании не участвуют.
Теперь у нас 3 подозрительных шарика. |
| 3 взвешивание: кладем на каждую чашу весов по 1 шарику. На той чаше, которая перевесила, будет искомый тяжелый шарик. | 3 взвешивание: кладем на каждую чашу весов по 1 шарику и 1 шарик откладываем в сторону. На той чаше, которая перевесила, будет искомый тяжелый шарик. Если же весы в равновесии, то отложенный шарик — это искомый тяжелый шарик. |
Таким образом, Васе понадобится минимум 3 взвешивания, чтобы найти тяжелый шарик.
Ответ: за 3 взвешивания.