Уравнения.
Уравнения – это примеры, в которых некоторые числа обозначены знаками или буквами, то есть неизвестны.
Решить уравнение – значит найти эти неизвестные числа.
Неизвестные числа в уравнениях могут обозначаться по-разному: картинками, значками, буквами. Обычно одинаковые числа в уравнениях имеют одинаковое обозначение, а разные числа – разные обозначения. Но иногда и одинаковые числа могут обозначаться по-разному.
Пример 1.
На сегодняшнем занятии мы будем решать задачи, в которых числа неизвестны, но есть некоторая информация про их суммы и разности, то есть будем составлять и решать уравнения.
При решении этих задач важно помнить:
- чем отличается число от цифры и сколько цифр в однозначном числе;
- что значит «больше на столько-то» и «меньше на столько-то»;
- что значит «больше во столько-то раз» и «меньше во столько-то раз».
1. Известна сумма и разность чисел.
Задача 1.
У Маши и Даши 8 кукол. У Маши на 2 куклы больше, чем у Даши. Сколько кукол у Маши? Сколько кукол у Даши?
Решение.
По условию задачи у Маши на 2 куклы больше, чем у Даши, а всего у них 8 кукол. Если Маша уберет на полку 2 своих куклы, то у девочек кукол станет поровну, а всего их будет 8-2=6. Значит, у Маши будет 3 куклы и у Даши будет 3 куклы.
Так как кукол на полку убирала только Маша, то у Даши число кукол не менялось, значит у Даши 3 куклы. Теперь, если Маша снова возьмет с полки 2 куклы, у нее будет 3+2=5 кукол.
Ответ: у Маши 5 кукол, у Даши 3 куклы.
Замечание.
В этой задаче нам были известны сумма количества кукол Маши и Даши и их разность. Ведь то, что у Маши на 2 куклы больше, чем у Даши, означает, что разность количества кукол Маши и Даши равна 2.
Зная сумму и разность двух чисел, мы смогли найти оба этих числа.
Причем здесь уравнения? Обозначим буквой М количество Машиных кукол, а буквой Д — количество Дашиных кукол. Оказывается, что, решив задачу, мы решили два связанных уравнения:
Задача 2.
Сумма двух чисел 7, разность 3. Найдите эти числа.
Решение.
Если разность двух чисел равна 3, то одно число больше второго на 3. Если мы вычтем из большего числа 3, то числа станут равны, но их сумма уменьшится на 3 и станет равна 7-3=4. Поскольку сумма равных чисел равна 4, то каждое из чисел равно 2.
Так как мы вычитали 3 только из одного числа, то второе число осталось без изменений, значит оно равно 2. Вернем теперь первому числу то, что мы из него вычли, то есть 3, получим, что первое число равно 2+3=5.
Ответ: 5 и 2.
2. Части и целое.
В задачах этого типа известна сумма нескольких чисел и соотношения меду этими числами. При решении таких задач одно из неизвестных чисел принимают за 1 часть общей суммы. И очень полезно бывает нарисовать хорошую схему. Рассмотрим пример такой задачи.
Задача 3.
Три рыбака – Андрей, Василий и Петр – поймали вместе 53 рыбы. Улов Андрея меньше улова Петра на 7 рыб. Улов Василия больше улова Петра в 2 раза. Кто сколько рыб поймал?
Решение.
Из условия задачи ясно, что больше всех улов у Василия, а меньше всех – у Андрея. Кроме того, если мы узнаем, сколько рыб поймал один из рыбаков, то сможем вычислить и улов остальных двоих рыбаков.
Пусть улов Андрея — это одна часть общего улова.
Обозначим эту часть знаком 
.
Изобразим условие задачи на картинке:
Зная общий улов рыбаков и глядя на схему, можно составить уравнение:
И этого следует, что:
Далее вычисляем, сколько рыб в одной части улова (обозначенной ведром), и улов каждого из рыбаков.
1) 32:4=8 (рыб) — в одной части, это улов Андрея.
2) 8+7=15 (рыб) — улов Петра.
3) 15*2=30 (рыб) — улов Василия.
Ответ: улов Андрея – 8 рыб, улов Петра – 15 рыб, улов Василия – 30 рыб.
3. Известна сумма разных «наборов» чисел.
Задача 4.
1 арбуз и 2 дыни весят 9 кг, а 2 арбуза и 1 дыня весят 12 кг. Сколько весит арбуз? Сколько весит дыня? (Все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково).
Решение 1.
Пусть в первой корзине лежат 1 арбуз и 2 дыни, а во второй корзине лежат 2 арбуза и 1 дыня. Вес фруктов в первой корзине 9 кг, во второй – 12 кг.
Если мы из первой корзины уберем 1 дыню и положим вместо нее 1 арбуз, то получим тот же набор фруктов, что и во второй корзине, весом в 12 кг. Поскольку при замене дыни на арбуз вес набора увеличился на 3 кг, то можно сделать вывод, что арбуз тяжелее дыни на 3 кг.
Вернемся к первоначальным корзинам. Если теперь мы в первую корзину вместо 1 арбуза положим 1 дыню, то в корзине будет 3 дыни, и вес этого набора фруктов будет 9-3=6 кг (потому что дыня легче арбуза на 3 кг). Поскольку 3 дыни весят 6 кг, то 1 дыня весит 2 кг. Арбуз весит на 3 кг больше дыни, то есть 5 кг.
Решение 2.
Пусть, как и в первом решении, в первой корзине лежат 1 арбуз и 2 дыни, а во второй корзине лежат 2 арбуза и 1 дыня. Вес фруктов в первой корзине 9 кг, во второй – 12 кг.
Если объединим фрукты из обеих корзин, то получим набор из 3 арбузов и 3 дынь, который будет весить 9+12=21 кг. Значит, 1 арбуз и 1 дыня весят 21:3=7 кг.
Вернемся к первоначальным корзинам. В первой корзине лежат 1 арбуз и 2 дыни, общий вес которых — 9 кг. Но мы выяснили, что 1 арбуз и 1 дыня вместе весят 7 кг. Значит, вторая дыня в первой корзине весит 9-7=2 кг.
Поскольку дыня весит 2 кг, а 1 дыня и 1 арбуз весят 7 кг, то 1 арбуз весит 7-2=5 кг.
Ответ: арбуз весит 5 кг, дыня весит 2 кг.
Задача 5.
В цветочном магазине букет из 5 роз и 4 хризантем стоит 410 рублей, а букет из 3 роз и 2 хризантем стоит 230 рублей.
а) Сколько стоит букет из 8 роз и 6 хризантем?
б) Сколько стоит букет из 4 роз и 4 хризантем?
Решение.
Рассмотрим 1-й букет из 5 роз и 4 хризантем стоимостью 410 рублей и 2-й букет из 3 роз и 2 хризантем стоимостью 230 рублей.
а) Если мы объединим оба букета, то получим букет из 8 роз и 6 хризантем, соответственно, стоить такой букет будет 410+230=640 рублей.
б) Если мы из 1-го букета уберем 3 розы и 2 хризантемы (то есть «вычтем» 2-й букет), то в букете останется 2 розы и 2 хризантемы, соответственно, стоить такой букет будет 410-230=180 рублей.
Поскольку букет из 2 роз и 2 хризантем стоит 180 рублей, то букет из 4 роз и 4 хризантем стоит в два раза дороже, то есть 360 рублей.
Ответ: а) 640 рублей, б) 360 рублей.
4. Известны попарные суммы чисел.
Задача 5.
Крош, Ежик и Нюша коллекционируют фантики от конфет. У Кроша с Ежиком вместе 7 фантиков, у Ежика с Нюшей вместе 10 фантиков, у Нюши с Крошем вместе 13 фантиков. Сколько фантиков у каждого из этих смешариков?
Решение.
Обозначим буквой К количество фантиков Кроша, буквой Е — количество фантиков Ежика, буквой Н — количество фантиков Нюши.
Из условия задачи нам известно, что:
К + Е = 7
Е + Н = 10
Н + К = 13
Если к фантикам Кроша и Ежика прибавить фантики Ежика и Нюши, а также фантики Нюши и Кроша, то получим:
(К + Е) + (Е + Н) + (Н + К) = 7+10+13
Это то же самое, что:
(К + Е + Н) + (К + Е + Н) = 30
Значит:
К + Е + Н = 15
Таким образом, у Кроша, Ежика и Нюши вместе 15 фантиков.
По условию задачи, у Кроша с Ежиком вместе 7 фантиков, значит, у Нюши 15-7=8 фантиков.
У Ежика с Нюшей вместе 10 фантиков, значит, у Кроша 15-10=5 фантиков.
У Нюши с Крошем вместе 13 фантиков, значит, у Ежика 15-13=2 фантика.
К = 5, Е = 2, Н = 8.
Ответ: у Кроша 5 фантиков, у Ежика 2 фантика, у Нюши 8 фантиков.