5-6 класс. Неделя 11 (с 26 ноября по 2 декабря 2018). Теория и задачи.

Публикация в группе: Пробный онлайн-кружок 5-6 класса


Теоретический блок этой недели состоит из продолжения лекции и серии задач по теме «Принцип Дирихле».
Лекция онлайн-кружка 5-6 класса — «Принцип Дирихле.Продолжение.» Лектор: Михайловский Никита Андреевич (Москва).


Задачи.

  1. Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 10 можно выбрать так, чтобы среди них не было чисел, одно из которых вдвое больше другого?
  2. В квадратной таблице 19х19 расставлены плюсы и минусы. Разрешается за один ход поменять знаки на противоположные в любом столбце или в любой строке. Докажите, что можно добиться того, чтобы плюсов в таблице стало не меньше 190.
  3. В каждой клетке квадрата 3х3 стоит число 2, 1 или 0. Могут ли все суммы чисел по строчкам, по столбцам и двум главным диагоналям оказаться различными?
  4. Какое наибольшее количество не бьющих друг друга ладей можно расставить на шахматной доске?
  5. На шахматной доске стоит 7 ладей, докажите, что на доску можно поставить еще одну (уже восьмую) ладью так, что она не будет бить ни одну из 7 первоначальных ладей.
  6. Каждая клетка таблицы 2018х2018 покрашена в один из 2017 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?
  7. В каждой клетке таблицы размером 4xN (4 строки и N столбцов) стоит число 0 или число 1. При каком наименьшем значении N утверждение «В этой таблице найдутся два одинаковых столбца!» будет заведомо верным?
  8. По краю круглого стола расставлены таблички с фамилиями садоводов, участвующих в конференции по выращиванию кабачков. Оказалось, что садоводы не посмотрели на таблички и каждый сел не на свое место. Докажите, что стол можно повернуть так, чтобы хотя бы два садовода сидели против своих табличек?
  9. Некоторые джентльмены решили основать клуб «Плешь» со следующим уставом:
    I) у любых двух членов клуба различное число волос;
    II) ни один из членов клуба не имеет ровно 1329 волос;
    III)количество волос на голове любого члена клуба меньше числа членов клуба.
    Каково максимально возможное число членов в этом клубе?
  10. В графстве Липшир некоторые усадьбы соединены дорогами. Докажите, что есть две усадьбы, из которых выходит поровну дорог.
  11. На прямой AB (не обязательно внутри отрезка AB) отмечено 2017 точек. Оказалось, что сумма расстояний от этих точек до точки A равна сумме расстояний от этих 2017 точек до точки B. Докажите, что хотя бы одна из отмеченных точек лежит на отрезке AB.

 

 

 

Print Friendly, PDF & Email
Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.

Оставить комментарий


Авторизация
*
*
Регистрация
*
*
*
*
Фамилия ребенка
Имя ребенка
Класс в текущем учебном году. Для дошкольников - "0"
Полное название школы или иного образовательного учреждения, например "МБОУ лицей №40". Для оформления дипломов
Генерация пароля