Головы и ноги.
К теме «Головы и ноги» относятся задачи на подсчет голов, ног, ушей, хвостов, глаз и других частей различных существ. Кроме того, в этой теме рассматриваются и другие задачи, которые решаются похожим образом. Удобнее всего такие задачи решать графически, то есть с помощью рисунков и схем. Рассмотрим несколько задач.
1. Головы и ноги.
Задача 1.
У бабушки на дворе живут кролики и утки. Всего у них 5 голов и 16 лап. Сколько у бабушки кроликов и сколько уток?
Решение.
Сначала вспомним, что у кроликов и уток по 1 голове. Значит, раз голов было 5, то и всего животных и птиц было 5. У уток по 2 лапы, а у кроликов по 4.
Нарисуем схематично 5 голов:
Предположим, что все животные — это утки, а кроликов нет. Поскольку у уток по 2 лапы, то пририсуем каждой голове по 2 лапы:
Тогда получается, что у животных 2+2+2+2+2=10 лап. А должно быть 16 лап, то есть не хватает 6 лап.
Добавить кроликов и уток мы не можем, потому что тогда увеличится количество голов.
Чтобы увеличить количество лап, и при этом не изменить количество голов, заменим 1 утку на 1 кролика.
Поскольку у кролика 4 лапы, то пририсуем одной утке еще 2 лапы — получится кролик:
Теперь получилось всего 12 лап, не хватает еще 4.
Заменим еще 1 утку на 1 кролика:
Теперь получилось всего 14 лап, не хватает еще 2.
Заменим еще 1 утку на 1 кролика:
Теперь получилось всего 16 лап, как и указано в условии задачи.
Таким образом, у нас получилось 3 кролика и 2 утки.
Замечание. Можно заметить, что при замене 1 утки на 1 кролика количество голов остается прежним, а количество лап увеличивается на 2.
Чтобы получить 16 лап вместо 10, нужно 3 уток заменить на 3 кроликов.
Ответ: 3 кролика и 2 утки.
По мере усложнения задач использовать графический метод решения становится затруднительно, так как рисовать нужно довольно много. Поэтому постепенно переходим к решению задач путем логических рассуждений.
Есть много задач, в которых не упоминаются головы и ноги, но решаются они похожим образом. Рассмотрим одну из них.
Задача 2.
В магазине канцтоваров набор наклеек с динозаврами стоит 20 рублей, набор наклеек с бабочками — 30 рублей, а набор наклеек с собачками — 10 рублей. Маша купила 12 наборов наклеек и заплатила за них 200 рублей. Сколько наборов с динозаврами купила Маша, если ровно половина всех купленных наборов была с собачками?
Решение.
Решим эту задачу, не рисуя схему, а только лишь рассуждая.
Поскольку половина всех наборов (то есть 12:2=6 штук) была с собачками, то на них Маша потратила 6*10=60 рублей.
Остальные 6 наборов были с динозаврами и с бабочками, и на них Маша потратила 200-60=140 рублей.
Предположим, что все эти 6 наборов были с динозаврами и стоили 20 рублей за набор.
6 наборов с динозаврами стоят 6*20=120 рублей. Но Маша потратила 140 рублей, то есть на 20 рублей больше.
Заменим 1 набор с динозаврами на 1 набор с бабочками. Поскольку набор с бабочками на 10 рублей дороже, то стоимость 6 наборов увеличится на 10 рублей.
А чтобы стоимость наборов увеличилась на 20 рублей, нужно 2 набора с динозаврами заменить на 2 набора с бабочками. Остальные 4 набора так и останутся с динозаврами.
Таким образом, Маша купила 6 наборов наклеек с собачками, 2 набора с бабочками и 4 набора с динозаврами.
Ответ: 4 набора.
Задача 3.
Петя участвовал в турнире по устному счёту. На этом турнире за каждый правильно решенный пример участнику прибавлялось 2 балла, а за каждый неверно решенный пример — вычитался 1 штрафной балл. Петя решил 10 примеров и набрал 11 баллов. Сколько примеров Петя решил правильно?
Решение.
Если бы Петя решил все 10 примеров правильно, то он бы набрал 20 баллов (по 2 балла за каждый пример).
Допустим, что Петя решил неверно 1 пример, а 9 верно. Тогда он набрал бы 18 баллов за верные примеры, но из этой суммы ему вычли бы 1 штрафной балл. То есть Петя получил бы всего 18-1=17 баллов.
Если бы Петя решил неверно 2 примера, а 8 верно, тогда он бы получил 16 баллов за верные примеры, но ему бы вычли 2 штрафных балла за неверные. То есть Петя получил бы 16-2=14 баллов.
Если бы Петя решил неверно 3 примера, а 7 верно, то он бы получил 14 баллов за верные примеры, но ему бы вычли 3 штрафных балла за неверные. То есть Петя получил бы 14-3=11 баллов. А это совпадает с условием задачи. Значит, Петя решил верно 7 примеров, а в 3 примерах сделал ошибку.
Замечание. Можно заметить, что каждый неверно решенный пример уменьшает максимально возможную сумму баллов на 3. Ведь при неверно решенном примере 2 балла не начисляются и, к тому же, вычитается 1 штрафной балл. Соответственно, чтобы получить 11 баллов, нужно 20 баллов (сумму за все 10 верных примеров) уменьшить на 9 баллов. А 9 баллов — это 3 раза по 3 балла. То есть неверно были решены 3 примера.
Ответ: 7 примеров.
2. Если чего-то поровну.
По-другому решаются задачи, если в них сказано, что чего-то (например, ног или голов) поровну. Рассмотрим такие задачи.
Задача 4.
В магазине продавались 28 детских велосипедов — трехколесные и четырехколесные. У всех трехколесных велосипедов было столько же колес, сколько у всех четырехколесных. Сколько было велосипедов того и другого вида?
Решение.
У трехколесного велосипеда 3 колеса, а у четырехколесного — 4.
Заметим, что у 4 трехколесных велосипедов в сумме 12 колес и у 3 четырехколесных велосипедов в сумме 12 колес.
Так как колес у велосипедов того и другого вида было поровну, то их все можно разбить на группы из 4 трехколесных и 3 четырехколесных велосипедов, то есть на группы с равным количеством колес. В каждой такой группе будет 4+3=7 велосипедов.
Так как всего велосипедов 28, то групп будет 28:7=4. Так как в каждой группе 4 трехколесных велосипеда, то трехколесных велосипедов всего 4*4=16. Так как в каждой группе 3 четырехколесных велосипеда, то четырехколесных велосипедов всего 3*4=12.
Ответ: 16 трехколесных и 12 четырехколесных велосипедов.
Задача 5.
Маша начертила в тетради одинаковое количество треугольников и пятиугольников. Оказалось, что углов у пятиугольников на 14 больше, чем у треугольников. Сколько всего фигур начертила Маша?
Решение.
Так как треугольников и пятиугольников поровну, то все фигуры можно разбить на пары из треугольника и пятиугольника. В каждой такой паре углов у пятиугольника на 5-3=2 больше, чем у треугольника.
Так как у всех пятиугольников углов на 14 больше, чем у всех треугольников, а в каждой паре разность углов равна 2, то всего Маша начертила 14:2=7 пар фигур. Значит, она начертила 7 треугольников и 7 пятиугольников, а всего 7+7=14 фигур.
Ответ: 14 фигур.